华南师范大学数学科学学院(510631)吴宣良

四川省双流中学(610299)王先义

2021年是新高考全国I 卷实行第二年,教育部在《关于做好2021年普通高校招生工作的通知》中要求高考命题要做到:“‘重点必考,主干多考’;‘考查思维,体现能力’”等等.函数与导数作为高中数学的重点内容,尽管在新高考全国I卷占有较高比重,但对思维和能力的考查有不少教师有较大的反响,尤其是新高考全国I 卷22 题,许多教师认为此题第(2)问是有关极值点偏移的陈题,毫无新意.鉴于此,笔者对此题进行深入研究与思考,发现此题并不是“老树”,解法并非仅限于以往的极值点问题的常见方法,而是“老树又逢春”,方法多样.本文将从试题评析、解法研究、解后反思以及高考链接几个方面进行研究,以飨读者.

一、试题再现及评析

题目(2021年新高考I 卷理科第22 题)已知函数f(x)=x(1−lnx).

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设a、b为两个不相等的正数,且blna−alnb=a−b,证明

试题评析该题严格依据《普通高中数学课程标准(2017版)》和《中国高考评价体系与说明》文件精神,以强化数学核心素养和能力立意为导向,重点考查主干内容.第(1)问讨论函数单调性,主要考查函数与导数、单调性与导数的关系等知识;主要考查学生函数与方程、数形结合、化归与转化的数学思想;考查学生运用基础知识、基本技能和基本思想方法去分析和解决问题.第(2)问以函数、方程的根以及不等式等知识为依托,设置二元不等式问题,主要考查学生逻辑推理和数学运算数学素养……