沈阳师范大学2021 级软件工程专业(110034)刘新飞

辽宁省黑山县第一高级中学(121400) 刘大鹏

一、考题再现

题目(2021 高考全国甲卷理科第20 题文科第21 题)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x= 1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ,已知点M(2,0),且⊙M与直线l相切.

(1)求抛物线C和⊙M的方程;

(2)设A1,A2,A3是抛物线C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切,判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.

(1)参考结果:C:y2=x,⊙M: (x −2)2+y2= 1.(过程从略)

经过研究,本题可作如下推广:

二、推广

推广1抛物线C:y2=2px(p>0),⊙M:(x −4p)2+y2=4p2,设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切,则直线A2A3与⊙M相切.

证明(1)当直线A1A2,A1A3中的一条无斜率时,不妨设A1A2无斜率,(若直线A1A2的方程为x= 2p,则过A1作⊙M的另一条切线与抛物线的对称轴平行,不符合题意).所以直线A1A2的方程必为x= 6p.得直线A1A3:y −k(x −6p)即kx−y+−6kp=0,d=2p,所以k=从而A1A3:y=A3(0,0),直线A2A3:x+= 0,d== 2p.直线A2A3与⊙M相切.

(2)当 直 线A1A2,A1A3都 有 斜 率 时,设A1(2pt21,2pt1),A2(2pt22,2pt2),A3(2pt23,2pt3),A1A2:y−2pt1=,故(t1+t2)y−x−2pt1t2=0,=2p,故4+t21t22=1+(t1−t2)2,所以t21−1t22+2t1t2+3−t21=0,同理(t21−1)t23+2t1t3+3−t21=0,所以t2,t3是关于t的方程(t21−1)t2+2t1t+3−t21=0 的两根,所以t2+t3=

所以直线A2A3与⊙M相切.

推广2抛物线C:y2=2px,(p>0),⊙M:(x −m)2+y2=r2,且r2= 2p(m −r).设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切,则直线A2A3与⊙M相切.

证明(1)当直线A1A2,A1A3中的一条无斜率时,不妨设A1A2无斜率,(若直线A1A2的方程为x=m −r,联立得A1(m −r,r),A2(m −r,−r),则过A1作⊙M的另一条切线与抛物线的对称轴平行,不符合题意).所以直线A1A2的方程必为x=m+r.得设直线A1A3:y −=k(x −m −r),即kx−y−(m+r)k+=0,d=所以k=从而A1A3:y=A3(0,0),从而A2A3:y=即所以直线A2A3与⊙M相切.

(2)当直线A1A2,A1A3都有斜率时,设A1(2pt21,2pt1),即(t1+t2)y −x −2pt1t2= 0,d=从而

所以

同理

所以t2,t3是方程

的两根,所以

t2+t3=t2t3=直线A2A3: (t2+t3)y −x −2pt2t3=0,

所以直线A2A3与⊙M相切.

评注在推广2 中,令m= 4p,r= 2p即得到推广1.在推广1 中,令2p=1 即得2021年高考全国甲卷理科第20 题文科第21 题.

将抛物线换成椭圆,得到:

推广3椭圆C:= 1,(a>b>0),⊙M:x2 +y2=设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切,则直线A2A3与⊙M相切.

证明(1)当直线A1A2,A1A3中的一条无斜率时,不妨设……