新疆乌鲁木齐市新疆师范大学数学科学学院(830017) 杨润冰 杨 军

1 问题提出

高中数学人教版必修2“圆与方程”B 组第2 题是“长度为2a的线段PQ的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动,求线段PQ的中点M的轨迹方程”.该习题源于生活情境“滑落的梯子”,求的是“滑落的梯子”的中点轨迹.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,易知“滑落的梯子”的中点轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆.

另一方面,“梯子”在滑动过程中扫过一个平面区域,这个区域的边界曲线的方程是什么呢? 这个问题本质上是平面曲线的包络,可以利用高等几何的知识解决,但是基于“滑的最远”的位置就是“边界”的朴素思想,本文试着通过高中数学求函数最大值的方法探求“滑落的梯子”的边界曲线,以飨读者.

2 在互相垂直的直线上“滑落的梯子”的边界曲线

如图1,长度为d的线段PQ的两个端点P和Q分别在x轴非负半轴和y轴非负半轴上滑动,倾斜角为α(α ∈的射线OT与滑动的线段PQ交于点M.记线段OM长度最大时的点M为N,则点N即为“滑落的梯子”PQ扫过的平面区域边界曲线上的点.下面求射线OT的倾斜角在变化过程中,点N的轨迹(即边界曲线)方程.

设线段PQ与x轴的夹角∠OPQ=t,则OP=dcost,OQ=dsint,利用正弦定理有解得OM=f(t)=其中t ∈(0,).下面求函数f(t)的最大值.

图1

图2

求导得f′(t)=记tan3t0= tanα(其中t0∈利用函数tan3t的单调性可知,当t ∈(0,t0),f′(t)>0,当t ∈f′(t)<0.故f(t)在区间(0,t0)上为增函数,在区间上为减函数.从而fmax(t)=f(t0),其中t0∈且满足方程tan3t= tanα.故而“滑落的梯子”扫过区域边界曲线上点N的坐标为整理得

注意到极端情形t+α= 0 或π时,边界曲线上点的坐标也满足上式,从而边界曲线(如图2)的参数方程为进而,如果允许“滑落的梯子”的两个端点在x轴负半轴或……