广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

一、题目呈现

题目(2020年全国高中数学联赛一试(A 卷)第11 题(压轴题))在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C在双曲线xy=1 上,满足ΔABC为等腰直角三角形,求ΔABC的面积的最小值.

这是一道顶点在双曲线上的三角形面积有关的计算题.本题短小精悍,综合考查考生逻辑思维、推理论证、运算、以及分析问题和解决问题等方面的能力,思想方面重点考查数形结合、函数方程和转化与化归思想.本题作为压轴题起到了把关作用,对于考生运用所学知识,寻找合理的解题策略以及推理论证、运算能力有较高的要求,难度较大.

二、试题的官方参考答案

解答不妨设等腰直角ΔABC的顶点A,B,C逆时针排列,A为直角顶点,如图1.设= (s,t),则= (−t,s),且ΔABC的面积SΔABC==注意到A在双曲线xy= 1 上,设A(a,),则B(a+s,+t),C(a −t,+s).

图1

由B,C在双曲线xy= 1 上,可知(a+s)(+t)=(a −t)(+s)=1,这等价于

由①,②相乘,并利用③,得

所以由基本不等式得

故s2+t2≥

以下取一组满足条件的实数(s,t,a),使得s2+t2=(进而由s,t,a可确定一个满足条件的ΔABC,使得

考虑④的取等条件,有2s2t2= (s2−t2)2,即2±

不妨要求0

由①知a <0,故由③得a=其中t=从而有a=

综上,ΔABC的面积的最小值为

评注参考答案是通过引入向量得到点B,C的坐标,然后利用B,C在双曲线xy= 1 上得到方程组,消去a,得到s,t的等式,再用均值不等式得到了s2+t2的最小值.参考答案有两个难点: 一是如何想到引入向量求得点B,C的坐标,似是神来之笔,突然来之;二是利用均值不等式求s2+t2的最小值,技巧性较强.

三、试题的深入分析与解答

下面笔者从不同视角对本试题进行详细分析与解答,供大家参考.

分析1注意到题目中有三个……