四川省凉山州美姑县中学 周钰承

西南林业大学湿地学院2018 级环境科学 周园钞

在科学与工程中，常常选定椭圆、椭球作为数学模型进行数值计算。辛普森数值积分、泰勒级数公式、龙贝格算法，都是对椭圆周长、椭球表面积进行数值计算的好工具。按不同精度要求，文章列出了椭圆周长和椭球表面积的数值计算公式，以供数学爱好者及普通工程师使用。

一、序言：椭圆与椭球是科学与工程常用的数学模型

星际的公转和自转，山水间的蜿蜒和盘旋，物种间的追逐和闪避……那拐弯处的美丽弧线，正是椭圆与椭球对世间万物的慷慨馈赠。于是，在科学与工程计算中，选定椭圆和椭球作为数学模型，既是自然选择，也是艺术惠顾。

然而，椭圆函数是一类高深莫测的超越函数。本文力图利用辛普森数值积分、泰勒级数公式及龙贝格算法，对椭圆周长和椭球表面积提炼出相对简洁而又精确的初等公式，以供数学爱好者及普通工程师使用。

二、用辛普森公式对椭圆周长和椭球表面积快速估值

1.椭圆周长的快速估值

与其他椭圆周长公式相比，这个公式最大的特点是没有圆周率参与运算，减少了计算量，而当椭圆趋近于圆时，圆周率自动向近似值3.122 趋近，故公式（1）的误差约为一千分之六，比辛普森公式直接结论，相对椭圆离心率误差分布更均匀。如果椭圆两个半轴长满足勾股数，公式（1）完全可以口算：当a=4，b=3 时，周长L≈22（真值为22.103…）；当a=12，b=5 时，周长L≈56（真值为55.695…）；当a=15，b=8 时，周长L≈74（真值为73.939…）。