陆开芹

[摘  要] 从当下数学教学的变革发展中不难看出，“数学模型”是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。因此，要培养和发展学生形象的数学模型思想，就得重视基本生活原型的引入，并结合书本知识体系的学习，指导学生学会用符号、式子等建构对应的思考模型和解答模型，真正使学生经历“数学化”的学习过程。

[关键词] 模型思想;数学活动;数学素养

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义。”

一、渗透模型思想于情境中

无论从事怎样的教学活动，我们都得为学生的自主学习、探究学习和合作学习搭建适宜的平台。创设学习情境、教学情境就是提供最基本的平台。因此，教学中要善于解读知识内容，依托教材的编排规律，科学地把现实生活中与数学学习相关联的素材引入教学之中，促使学生能够在较为轻松活泼的氛围中运用知识去分析问题、研究问题，从而引发学生积极的数学思考，促使学生进行必要的抽象、概括，促使数学模型的建立。

如构建“多减要加”的解题模型时，需要运用生活中“付整找零”的经验，创设购物付钱的学习活动情境。一是提供一组商品的模型与单价，篮球98元，足球97元，排球97元。二是组织部分学生开展购物实践活动，每个人都付出100元，体会到篮球值98元，营业员还得找回2元等。通过真实的商品交易活动，让学生体会到多付出的还得要回来，使对应的思维变得清晰起来。三是提供运用感知的实践尝试，如231-99，453-198等，让学生真正理解231-99=231-100（  ）（  ），453-198=453-（  ）（  ）（  ）。四是引導学生对练习进行反思与总结，使得“多减要加”的数学思想在具体情境中获得理解，得到建构。

像上述这种以学生熟悉的生活原型为切入口，让学生通过在既有的经验支持下的学习与反思获得新的领悟，使数学学习在自然状态下走向深邃，其本质就是从“常识”上升为“数理”的蜕变过程，就是一个有效的数学建模过程。

二、感知模型思想于活动中

帮助学生建构数学模型，不仅需要精选数学原型，为学生的探求问题解决方法提供经验、知识、技能的保障，更要引导学生参与知识形成的研学活动，让学生在真实的活动中获得更为丰富的感性材料，能够多维度、立体地感知某类事物的特征或数量间的内在关系，使数学建模成为一种必然。

如“凑十法”的模型建构教学思考。首先，组织学习“9加几”，让学生体验真实的数学学习活动。把9根小棒和1根小棒捆在一起，或者是9个圆片和1个圆片摞在一起等，变成一个“十”。通过活动，使学生明白9+1=10，10就是1个十，使“十”的表象建立起来。其次，引导学生拓展视角，去寻找更多的成“十”的例子。学生会在学习交流中，逐步认识到9个人+1个人是10个人，9本练习本+1本练习本是10本练习本等，让学生在不同的感知中获得最真切的感悟，形成“十”的认知。再次，采取半扶半放的学习方式，让学生在活动中学习“8、7加几”的算法，并通过摆小棒、摆圆片等活动，引领学生进一步感知“凑十法”，从而体会到“凑十法”在加法学习中应用是非常多的。最后，放手让尝试学习“6、5、4加几”的算法，促使学生在不自觉中运用“凑十法”去解决问题。

当我们采取这种循序渐进的策略进行教学时，学生就一定能够在相应的活动中逐步把握“凑十法”，并理解其价值。数学学习活动，给学生合作的机会，给学生交流的时空，让学生有机会进行必要的观察、操作、实践等，有助于学生在活动中体验“凑十法”的内涵，为形成“凑十法”的模型奠定了坚实的基础。

三、建立模型思想于应用中

不管是数学概念的形成，还是数学规律的发现，其核心的内容还是在于数学思想方法的运用。也就是说，要使学生的数学学习变成技能、技巧，形成模型，就得让学生学会活用“数学模型”，通过真实的问题研究，使他们能够更科学地把握概念、规律的实质，顺利构建新的认知体系，使学生的数学素养在研究问题中实现提升。

如“鸡兔同笼”的问题模型建构教学思考。引导学生研究常规的鸡兔同笼问题：“鸡兔同笼，上有头20个，下有腿50条。问鸡兔各有多少个？”让学生自主选择策略去分析、研究、解决问题。组织学习反馈，有的学生采用画图策略，画出20个圆圈代表总个数，先给每一个圆圈按上2条腿，会发现多出10条腿。因为鸡是2条腿，兔是4条腿，所以再补充画腿时，每一次是画上2条腿，发现还需要画上5次，得到兔有5个，鸡有15个。有的学生采用的是假设策略，假设全是鸡，腿的条数只有40条，那么就会多出10条。这时就得用兔子把鸡换下来，每换1个就会增加4-2=2条腿，这样就能得出10÷2=5个兔子，鸡则是15个。

组织学生比较两种策略时，学生会发现它们的实质是一样的。比较使学生感悟到鸡兔同笼的解决模型。应用模型，拓展训练。我们都知道建模的目的是形成解题技能，巩固思维成果，所以就得把建立模型过程中不可能一一列举的同类事物通过习题的方式呈现出来，从而开阔学生考察视野，使学生学会分析不同的情境，学会运用模型思想去分析研究，进而深化对应模型的理解，提高稳定性。如可设计：①李老师为学校买来篮球、足球共80个，一共用去4350元。足球每个60元，篮球每个50元，篮球、足球各有多少个？②甲、乙两个车间一共用煤126吨。已知甲车间每8天用1吨，乙车间每6天用1吨，两个车间累计正好用了17天，甲乙车间各用煤多少吨？

通过不同类型的习题列举，使学生明白鸡兔同笼模型还有更多的例子，从而激发学生的学习兴趣。这样的设计思考，也会使鸡兔同笼模型的外延不断得以丰富和拓展。

翔实的模型应用实例，不仅为数学模型的理解提供了最直接的可能，也为学生知识体系的建构提供了试练场。上述案例，能够使我们明白，模型的建立不只是知识的传授，而是一种技能、智慧的积淀。因此，提供真实的训练情境，才能加深学生的理解，促使学生更好地把握知识的脉络，发展对应的数学思想。也许只有当学生经历这样的思索、体验过程，他们对模型的建构才会实现由半具体、半抽象的模型向理性的数学模型蜕变，完成从物理模型到直观的数学模型再到抽象的数学模型的建构过程，从而留下刻骨铭心的记忆。

四、深化模型思想于梳理中

数学学习是一个不断积累、不断升华的过程。因此，在教学中要善于引导学生整理和归纳所学知识，使他们在知识梳理中更好地领悟知识的本质、把握知识的真谛，从而形成科学的认知体系。同样，数学模型思想的深化也需要学生经历这样的过程，只有在知识的整理、梳理中才能建构更准确的数学模型。

教师要引导学生学会“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”，讓学生在发现问题、提出问题的过程中找准数学模型的原点，从而使模型的来龙去脉更清晰。因此，可以指导学生回忆和复述最具代表性的、典型的活动过程，使相应的数学模型理解愈加深刻。

如“梯形的面积公式S=（a+b）h÷ 2”模型的深化，就可以通过情境变化的问题来深化。①一堆钢管共有10层，下面的每一层都比上一层多一根，第一层有2根，最后一层有11根。这堆钢管一共有多少根？②1+2+3+4+…+100=？③2+4+6+8+…+100=？……情境变化了，但解决问题的模型没有变化，这样不仅丰富了学生的学习内容，更拓展了模型的视角，使得梯形面积公式的运用模型外延得以延伸和拓展，有效地促进了学生数学素养的积累。

教师引导学生整理“用数学符号建立方程、不等式等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。如在“正反比例关系”模型建构教学中，出示巩固练习题：

指导学生解读数据，把握本质，从而使对应的数学模型在具体的运用中得以深化。

提供模型的运用平台，引领学生运用模型去思考、研究解决问题的策略，从而在学习反馈交流中感受模型的好处，激发深入探究的热情，深化对模型的理解，促进模型思想的不断升华。如在“圆的面积计算方法”教学中，就可以设计一组变式题，让学生在不同建模的有效素材冲击下进一步深刻理解数学模型，也使数学学习充满情趣与智慧。“图1中正方形面积是8平方厘米，求圆的面积”;“图2中正方形面积是8平方厘米，求圆的面积”;“图3中正方形面积是8平方厘米，求圆的面积”……

不同的情境会促使学生更集中精力关注学习的推进。同时，学生会在问题的研究突破中找准圆与正方形的内在联系，从而使原有的数学模型得到充实和提升，使数学思考变得更加深邃，使数学学习充满趣味，闪烁着智慧的光芒。

在小学数学教学中，教师应切实抓牢数学模型思想的渗透与孕育，灵活地创设学生探索数学模型和运用数学模型的学习情境，使数学学习真正成为学生数学素养积淀的活动，也使学生的模型思想在不断积累中得以成长，模型素养在长期的历练中得以发展，直至产生质的飞跃。