宋有银

[摘  要] 教师应基于学生原有的认知结构，通过与外界相互作用引导学生自主建构数学知识，从不同层面体会数学知識之间、数学与生活之间的联系，学会运用数学的思维方式进行思考，感悟数学的本质，建立新旧知识之间、知识与方法之间的关联，使学生走出建构受阻的困境，更新原有认知，并在进一步探究中思维向更深处漫溯。

[关键词] 认知结构;把握关联;自主建构;深度思考

学生原有的认知结构是影响新知识的学习与保持的关键因素。所谓认知结构是人用以感知、加工外界信息及进行推理活动的参照框架。简单地说，就是学生头脑中的知识结构，具体包括相对于新知的知识储备、经验积淀及可能存在的学习障碍等。教师可以通过访谈、问卷调查等前测手段大致把握学生已知的、欠缺的、疑惑的、感到困难的内容，还应该在课堂上根据教学现场的即时生成，引导学生对认知系统进行扩充、完善、建构。

下面，笔者结合苏教版小学数学教材中的几个教学实例，试着阐述把握知识的内在联系、加工已有经验、完善认知结构的具体策略。

一、在融通中把握关联

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“实施建议”的“教学建议”部分提到：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标。”教师应基于学生原有的知识结构，通过与外界相互作用引导学生自主建构知识，这样的教学才会是有效的、高效的。康德说：“按时间先后顺序说，先于经验我们没有知识，我们的一切知识都由经验开始。”数学知识有其内在的知识结构，任何一个新知识点都是旧知识点的延续。以“除数是整数的小数除法”为例，学生已经掌握了整数除法的笔算方法、小数的意义及性质，这些都是学习“除数是整数的小数除法”的原材料。为此，可对例题的学习情境稍做加工，创设“货比三家”的购物活动，作为新知的切入点，让问题情境唤醒学生对关系模型“单价=总价÷数量”的已有认知。计算9.6÷3，学生不约而同地调用了整数除法96÷3的已有经验，通过口算得到结果，方法有以下三种：（1）9.6元=96角，96÷3=32（角），32角=3.2元;（2）把9.6元分成9元和6角，9÷3=3（元），6÷3=2（角），合起来是3.2元;（3）根据小数的意义，3个“1”和2个“0.1”是3.2。

对第二种方法和第三种方法，教师要求学生陈述思路，重点说清两个问题：把9.6看成什么？每一步算的是什么？因为口算的思路与9.6除以3的笔算过程完全一致，这些经验是理解小数除以整数的算理和算法的认知基础，有助于解释竖式中“商的小数点和被除数的小数点对齐”的道理。

至此，学生根据新旧知识之间的关联，水到渠成地完成了竖式计算。随后，比较9.6÷3与96÷3两个竖式，初步掌握小数除以整数的基本算法：像整数除法那样列竖式计算，商的小数点和被除数的小数点对齐着写。

学生总是带着已有的知识经验走进课堂的。传统的教学往往忽略学生已有的知识经验，教师按照自己设计好的路径引导学生学习，未能顾及学生面对新知的心理感受，导致学生被动接受。在上面的这个案例中，教师以教材为依托，设计了一个既呈现已有经验，又隐藏着新知生长点的问题情境。学生在自由的讨论环境中，通过“头脑风暴”，激活基于生活经验的原有认知，尝试用多种方法来计算9.6÷3。在新旧知识建立联系或产生矛盾的过程中，学生的认知结构不断地重构，除数是整数的小数除法的笔算方法也就水到渠成了。在这样一个打破平衡和寻求平衡的过程中，学生的认知结构逐步完善，数学素养得到滋养，思维实现了质的飞跃。

二、在追问中深度思考

有一些数学课，教师总是把课堂提问设计得很细，希望学生发现什么、怎样观察、怎样操作都被教师设计成了一系列指令式的问题。学生为了回答这些问题，只能从事这些指令式的操作活动，失去了思考和发问的机会。长此以往，学生习惯了由教师提问题，一旦离开教师的问题引导，就不知如何学习了。

问题是思维的起点。教学中引导学生主动发现问题和提出问题，不仅能使课堂焕发出生机和活力，而且能使学生进入高质量的思维状态。因此，在教学中教师既要鼓励学生大胆质疑，又要指导学生质疑的方法，引导学生从数学与生活之间的连接点、新知与旧知之间的分化点等方面去思考、去发问。

例如，教学“梯形的面积”，考虑到学生已经学习了平行四边形面积和三角形面积的认知基础，所以在探索梯形的面积时，只提供了一些不同形状的梯形让学生小组合作，并提出不同的问题：“选择哪些梯形来研究梯形的面积公式？”“梯形的面积公式与哪些量有关系？”“用两个完全一样的梯形可以拼成哪些图形？”“梯形和拼成的图形之间有什么关系？”学生在问题的引领下，运用折、剪、拼、量、算等方法主动探究新知，在操作中推导出梯形的面积公式。学生向同伴发问：“你们听明白了吗？对于这个公式你还有什么要问的？”进而又生成了新的问题：“所有梯形的面积都可以利用这个公式计算吗？”“‘（上底+下底）×高表示什么意思？”“三角形、平行四边形也可以用这个公式吗？”……

为学生搭建一个“问”的平台，抓住新旧知识的衔接处，紧扣知识的本质，以“猜想、探索、总结、验证、应用”为主线展开教学，让学生更主动、更自觉、更深刻地理解和掌握相关知识，“知其然”也“知其所以然”，从而使学习活动更有深度、更有效。

课堂教学中，我们不能以梯度小、空间窄、指向单一的问题组织教学，而应该相信学生，引导学生主动观察、思考、发问，让学生的学习方式、参与程度及学习能力等过程性目标与知识技能目标得以同步发展。

三、在重构中提升思维

学生的数学学习不是一个连续的过程，必须经历一个建构、解构，再重新建构的过程，正如杜威所指出的“教育就是经验的改造或重组”。学生原有的知识储备、数学活动中的经验积淀，都将成为学生学习过程中的宝贵经验。这些经验有时会起积极的促进作用，有时会起消极的阻碍作用。因此，在教学中教师要思考学生已经具备学习新知的哪些经验，并适时引领学生进行必要的反思，及时更新和矫正原有认知。

例如，教学“3的倍数的特征”（苏教版五年级下册）这部分内容：

师：同学们，2和5的倍数有哪些特征？我们是用什么方法来研究的？（学生汇报“2和5的倍数的特征”以及研究方法，众说纷纭，碰出了思维的火花）18是3的倍数吗？

生1：我们可以像研究“2和5的倍数特征”那样研究“3的倍数的特征”——借助小棒图来研究！1个“十”也就是10根小棒，3根3根地分，还剩1根;剩余的1根和个位上的8根合起来是9根，3根3根地分，正好分完。（如图1）

师：明白为什么18是3的倍数了吧。那么26是不是3的倍数？

生2：26不是3的倍数。

师：个位上的6是3的倍数，为什么26却不是3的倍数呢？

生2：2个“十”也就是20根小棒，3根3根地分，还剩2根;剩余的2根和个位上的6根合起来是8根，3根3根地分，还剩2根。（如图2）

师：再来看一个更大的数！（课件出示138）它是不是3的倍数呢？

同桌交流：发现138是3的倍数。（教师同步展示课件，如图3）

师：仔细观察我们研究的这几个数，你发现了什么？

生3：数位上是几，分小棒时就剩下几根。

生4：一个数各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

……

学生已经有了“2和5的倍数的特征”的认知基础：2和5的倍数的特征具有相似之处——都和个位上的数有关。学生的这种认知基础，在研究“3的倍数的特征”時，容易造成方法的负迁移，从而简单地判定某个数是不是3的倍数只看个位就行。但通过圈一圈百数表，学生原先的想法便不攻自破，在质疑中激发学生进一步探索3的倍数究竟有哪些特征，引导学生借助探索“2和5的倍数的特征”的方法——利用小棒图判断3的倍数，从而让思维走向深处。其实，教师的教学过程就是学生已有经验被激活、重组、积累、提升的过程，经历这个过程后，学生走出建构受阻的困境，更新原有认知，使紊乱的思维变得有序起来，在进一步探究中思维向更深处漫溯。

对于某个新知的学习，不同的学习个体，其认知起点不尽相同，但是必须承认，每位学生都有着比较丰富的知识储备，我们完全可以而且应当在他们现有知识的基础上“想学生所思，教学生所需”。唯其如此，知识系统的建构才是真实的、坚实的、有生长力的。