景芳

摘  要：结合2021年高考数学试卷，对集合、常用逻辑用语、复数的试题进行求解与分析，把握考点、题量、题型及难易程度，优化解题策略，提供解题指导和备考建议.

关键词：集合;常用逻辑用语;复数;解题分析;复习建议

集合、常用逻辑用语、复数在高考中的考查重点是基本概念、基础知识和基本运算，绝大部分属于基础题，是高考中的重要得分点. 集合和简易逻辑是初、高中数学思维和方法衔接的重要载体，贯穿高中数学始终，是学生掌握较熟练的一部分内容. 但很多试题以集合和逻辑作为辅助性语言表达，考查数学理解，综合性较强. 复数是高中数系扩充的新内容，内容基础、相对独立，试题较稳定.

本文对2021年高考数学试卷中相关的内容进行分析，从中归纳出该专题内容的试题特征、解题策略和思想方法，以提高高考复习的有效性.

一、试题分析

2021年高考对集合、常用逻辑用语、复数的考查，注重基础考查、突出能力立意、着眼核心素养.

1. 基础知识集中考查

集合运算、复数运算每卷必考，试题的位置主要在选择题、填空题前三题，延续了一贯的特点，紧扣基础、直接明了、简单易解. 因此，在复习中应注重集合与复数的基础运算和基本概念;淡化复杂的技巧运算，强调数的运算，重视常规运算和通性、通法，借助Venn图、数轴等工具熟练解决数集的交、并、补运算;熟练掌握复数的加、减、乘、除、共轭、模的运算及复数的几何意义. 常用逻辑用语的基础知识主要包含四种命题的关系及其真假的判断，充分条件和必要条件的判断，含有简单的逻辑联结词的命题的真假判断. 强调对逻辑用语的理解、领悟，掌握转化和化归的思想方法.

2. 突出能力立意，着眼核心素养

常用逻辑用语和集合是数学语言的组成部分，是数学抽象的载体，试题中作为辅助语言时，除了考查对集合、逻辑用语的理解、领悟外，还需要以其他知识为载体，重点考查学生的数学推理能力、转化与化归能力和综合应用能力，具有一定的难度. 对这方面的考查各份试卷在内容、难度、题量上都有较大差异. 例如，全国新高考Ⅰ卷、全国甲卷（文科）没有考查常用逻辑用语.

二、解法分析

1. 集合

（1）集合的基本运算.

在2021年高考数学试卷中，集合的基本运算集中考查的是数集的基本运算，集合的表示形式有列举法和描述法，相对简单. 运算为求集合交集、并集的独立运算，以及求集合的交集、并集、补集的混合运算.

例1 （全国新高考Ⅰ卷·1）设集合[A=x-2<x<4，][B=2，3，4，5]，则[A⋂B]等于（    ）.

（A）[2] （B）[2，3]

（C）[3，4] （D）[2，3，4]

分析：先在数轴上表示出集合[A]，再根据集合[B]，寻找公共部分，从而得到集合的交集. 也可以利用交集的要求，先列举集合[A]中的正整数，再利用Venn图求出[A，B]的公共元素. 还可以利用元素与集合的关系，根据选项排除得到答案.

解法1：利用数轴，根据交集的定义，得[A⋂B=][2，3].

解法2：集合[A]的元素中，正整数为1，2，3，利用Venn图得[A⋂B=2，3].

解法3：根据交集的定义，[A⋂B]中的元素即属于[A]，也属于[B]，所以判断4不属于[A]，排除选项C，D;再根据3既属于[A]又属于[B]，确定答案选B.

【评析】该题主要考查集合的运算：若集合中的元素是离散的，常用Venn图来求解;若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示. 需要特别注意区间端点是否可以取到. 离散与连续的相互运算，要关注运算特征：如果求集合的交集，则结果一定是离散的，可以用列举法，也可以根据元素与集合的关系用特殊值排除法;如果求集合的并集与补集，用数轴求解.

数集的运算是2021年高考集合试题的重点，以下为相关试题.

（全国甲卷·理1）设集合[M=x0<x<4，][N=x13≤x≤5]，则[M⋂N]等于（    ）.

（A）[x0<x≤13] （B）[x13≤x<4]

（C）[x4≤x<5] （D）[x0<x≤5]

（全國甲卷·文1）设集合[M=1，3，5，7，9，][N=x2x>7]，则[M⋂N]等于（    ）.

（A）[7，9] （B）[5，7，9]

（C）[3，5，7，9] （D）[1，3，5，7，9]

（浙江卷·1）设集合[A=xx≥1，B=x-1<x<2，] 则[A⋂B]等于（    ）.

（A）[xx>-1] （B）[xx≥1]

（C）[x-1<x<1] （D）[x1≤x<2]

（上海卷·2）已知[A=x2x≤1，B=-1，0，1，] 则[A⋂B]等于      .

（北京卷·1）已知集合[A=x-1<x<1，B=][x0≤x≤2]，则[A⋃B]等于（    ）.

（A）[x-1<x<2] （B）[x-1<x≤2]

（C）[x0≤x<1] （D）[x0≤x≤2]

例2 （天津卷·1）设集合[A=-1，0，1，B=][1，3，5，C=0，2，4]，则[A⋂B⋃C]等于（    ）.

（A）[0] （B）[0，1，3，5]

（C）[0，1，2，4] （D）[0，2，3，4]

分析：利用Venn图，根据集合混合运算的顺序求解.

解法1：根据Venn图，解得[A⋂B=1]，再求得[A⋂B⋃C=0，1，2，4].

解法2：根据混合运算律[A⋂B⋃C=A⋃C⋂][B⋃C]. 先求[A⋃C=-1，0，1，2，4]，再求[B⋃C=][0，1，2，3，4，5]，解得[A⋂B⋃C=A⋃C⋂B⋃C=][0，1，2，4].

解法3：利用元素与集合的关系，先排除选项A，B，再根据元素3排除选项D.

【评析】2021年高考共有3份试卷考查了集合的混合运算，均是表示形式为列举法的数集的混合运算，结构和类型简洁，运算方便. 正确利用运算律、Venn图及元素与集合的关系即可解题.

集合混合运算的相关试题还有以下几道.

（全国新高考Ⅱ卷·2）若全集[U=][1，2，3，4，5，6，A=1，3，6，B=2，3，4]，则[A⋂∁UB]等于（    ）.

（A）[3] （B）[1，6]

（C）[5，6] （D）[1，3]

（全国乙卷·文1）已知全集[U=1，2，3，4，5，] 集合[M=1，2，N=3，4，] 则[∁UM⋃N]等于（    ）.

（A）[5] （B）[1，2]

（C）[3，4] （D）[1，2，3，4]

（2）集合的概念与表示、集合间的基本关系.

集合的概念与表示、元素与集合的关系、集合间的基本关系与其他知识融合在一起考查，体现的是集合的语言功能，重点考查学生对集合的理解，以及学生的综合应用能力.

例3 （全国乙卷·理3）已知集合[S=ss=2n+1，n∈Z，][T=tt=4n+1，n∈Z]，则[S⋂T]为（    ）.

（A）[∅] （B）[S] （C）[T] （D）[Z]

分析：分析集合[S，T]中的元素，根据元素得到[T⊆S]且[T≠S]，由此可以得出结论.

解法1：分析描述的关系式，利用同构法把集合[T]中的关系式改写成[t=4n+1=2⋅2n+1]，其中[n∈Z]，因為[2n]是偶数，偶数集是整数集的真子集，所以[T⊆S]且[T≠S].

解法2：利用数轴，有规律地找出集合中的元素，得到[T⊆S]且[T≠S].

解法3：根据元素与集合的关系，利用3，0两个集合元素排除选项B，D，利用集合元素5进行特殊值检验，确定选项C.

【评析】该题重点考查元素与集合的关系、集合间的关系及基本运算，难点是要理解集合的元素. 无穷离散数集要尝试寻找规律，化繁为简.

常见典型错误：对集合元素本质理解不到位;忽视了集合中不等式端点取舍等限制条件;画图不准确;混合运算顺序打乱.

2. 复数

复数每卷必考，重点考查复数的基本概念和基本运算，少部分试题涉及复数的相等、几何意义，位于选择题和填空题的前两道题，难度低. 学生需要了解复数、共轭复数的概念，理解复数相等的条件、复数的加、减、乘、除运算.

例4 （全国甲卷·文 / 理3）已知[1-i2z=3+2i，]则[z]等于（    ）.

（A）[-1-32i] （B）[-1+32i]

（C）[-32+i] （D）[-32-i]

分析：先利用复数的乘法和除法运算求出[z]，再化简整理成复数的代数形式.

解法1：设[z=a+bi].

因为[1-i2=-2i]，

所以[1-i2z=-2ia+bi=2b-2ai=3+2i].

根据复数相等的条件，实部和实部相等、虚部和虚部相等，解得[b=32，a=-1].

所以[z=-1+32i].

解法2：[1-i2z=-2iz=3+2i]，

[z=3+2i-2i=3+2ii-2ii=-2+3i2=-1+32i].

【评析】该题考查的是复数的代数形式运算. 重点是要理解[i2=-1]，了解复数的运算法则——乘法遵循多项式的乘法运算法则;加、减法遵循实部、虚部合并同类项法则;除法遵循分母实数化法则. 也可以把除法运算转化为乘法运算的逆运算，减法运算转化为加法的逆运算.

以下为2021年高考数学复数的运算的相关试题.

（全国乙卷·理1）设[2z+z+3z-z=4+6i]，则[z]等于（    ）.

（A）[1-2i] （B）[1+2i]

（C）[1+i] （D）[1-i]

（全国乙卷·文2）设[iz=4+3i]，则[z]等于（    ）.

（A）[-3-4i] （B）[-3+4i]

（C）[3-4i] （D）[3+4i]

（全国新高考Ⅰ卷·2）已知[z=2-i]，则[zz+i]等于（    ）.

（A）[6-2i] （B）[4-2i]

（C）[6+2i] （D）[4+2i]

（浙江卷·2）已知[a∈R， 1+aii=3+i]（[i]为虚数单位），则[a]等于（    ）.

（A）-1 （B）1 （C）-3 （D）3

（北京卷·2）若复数[z]满足[1-iz=2]，则[z]等于（    ）.

（A）[-1-i] （B）[-1+i]

（C）[1-i] （D）[1+i]

（上海卷·1）已知[z1=1+i，z2=2+3i]，则[z1+z2]等于      .

（天津卷·10）[i]是虚数单位，复数[9+2i2+i]等于         .

（全国新高考Ⅱ卷·1）复数[2-i1-3i]在复平面内对应的点所在的象限为（    ）.

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

常见典型错误：对虚数单位的理解不到位;对复数的乘除运算、加减运算的转化与化归不熟练;对共轭复数理解不透彻.

3. 常用逻辑用语

2021年的高考数学中的常用逻辑用语试题在各份试卷中的难易程度、题量、位置有较大差异，试题考查的内容主要有充分条件、必要条件和充要条件的判断，充分性、必要性的证明;命题真假的判断及“或”“且”“非”联结的两个简单命题构成的复合命题的真假的判断;存在量词、全称量词表述的数学问题推理和求解. 这部分内容常涉及与其他章节知识的综合，学生需要理解逻辑用语的意义，并把握各知识之间的内在联系，融会贯通，灵活运用转化与化归的思想方法处理问题.

（1）命题.

例5 （全国乙卷·文 / 理3）已知命题[p：∃x∈R，][sinx<1];命题[q：∀x∈R，ex≥1]，则下列命题中为真命题的是（    ）.

（A）[p∧q] （B）[¬p∧q]

（C）[p∧¬q] （D）[¬p∨q]

分析：先判断命题[p，q]的真假，再根据简单逻辑联结词“或”“且”“非”的意义判断复合命题的真假.

解：命题[p：∃x∈R，sinx<1]，只要举出例子使这个三角不等式成立即可，如[sin0=0<1]，所以命题[p]是真命题.

命题[q：∀x∈R，][ex≥1]，需要从任意的[x∈R]开始进行推理，由于[y=ex]在[R]上为增函数，[x≥0]，所以[ex≥e0=1]. 所以命题[q]为真命题.

所以[p∧q]为真命题，[¬p∧q、p∧¬q、¬p∨q]为假命题.

（2）充分条件和必要条件.

充分性和必要性的理解、充分条件和必要条件的判断是高考考查的热点之一. 判断充分条件、必要条件常用的方法有三种. 一是从定义入手，从命题的角度看：“若[p]，则[q]”是真命题， 则[p]是[q]的充分条件，[q]是[p]的必要条件;“若[p]，则[q]”是真命题，且“若[q]，则[p]”是假命题，则[p]是[q]的充分不必要条件，[q]是[p]的必要不充分条件;“若[p]，则[q]”“若[q]，则[p]”都是真命题，则[p]是[q]的充要条件;“若[p]，则[q]”“若[q]，则[p]”都是假命题，则[p]是[q]的既不充分也不必要条件. 二是利用命题间的推导推出关系. 三是若命题可以转化为集合，利用对应的集合之间的关系进行判断. [p]对应的集合为[A，q]对应的集合为[B]，若[A]是[B]的真子集，则[p]是[q]的充分不必要条件;若[A=B]，則[p]是[q]的充要条件.

例6 （浙江卷·3）已知非零向量[a，b，c]，则[“a⋅c=b⋅c”]是[“a=b”]的（    ）.

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

分析：根据两者之间的推导关系可得两者之间的条件关系.

解：若[a ⋅ c=b ⋅ c，] 利用向量数量积运算得[a-b ⋅ c=0]，可举反例，若[c=0]时推不出[a=b];反之若[a=b]，则[a ⋅ c=b ⋅ c]必成立. 故[“a ⋅ c=b ⋅ c”]是[“a=b”]的必要不充分条件.

【评析】该题以向量的数量积运算为背景，考查学生对数量积运算的掌握情况，以及对必要条件、充分条件意义的理解.

例7 （天津卷·2）已知[a∈R]，则“[a>6]”是“[a2>36]”的（    ）.

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

分析：可以利用命题间的推导，也可以利用对应集合的关系进行判断.

解法1：若[a>6]，利用平方运算的性质，得[a2>36]成立;反之，当[a=-10]时，[a2>36]但[a>6]并不成立. 所以[a>6]是[a2>36]的充分不必要条件.

解法2：因为[a>6]对应的集合[aa>6]是[a2>36]对应的集合[aa<-6或a>6]的真子集，所以[a>6]是[a2>36]的充分不必要条件.

【评析】该题转化为数集，利用集合之间的关系判断较为直观.

例8 （上海卷·21）若对任意[x1，x2∈R，] 当[x1-x2∈S]时，都有[fx1-fx2∈S，] 则称[fx]是[S]关联的.

（1）判断并证明[fx=2x-1]是否是[0，+∞]关联的，是否是[0，1]关联的;

（2）[fx]是[3]关联的，当[x∈0，3]时[fx=x2-][2x]，解不等式[2≤fx≤3];

（3）证明“[fx]是[1]关联的，且是[0，+∞]关联的”当且仅当“[fx]是[1，2]关联的”.

分析：第（3）小题需要从充分性和必要性两方面来论证，“当且仅当”也就是等价关系也就是充分必要.

（1）略;

（2）略;

（3）证明：充分性：因为[fx]是[1]关联的，

所以对任意的[x∈R]，[fx-fx-1=1].

设[x1-x2∈1，2]，即[1≤x1-x2≤2].

则[fx1-fx2=fx1-1+1-fx2=fx1-1-fx2+1.]

因为[fx]是[0，+∞]关联的，

所以[fx1-1-][fx2≥0].

所以[fx1-fx2≥1].

同理，[fx1-fx2=fx1-2+2-fx2=fx1-2-]

[fx2+2≤2].

必要性 ：因为[fx]是[1，2]关联的，

所以[1≤fx+1-fx≤2，1≤fx+2-fx+1≤2，1≤fx+2-fx≤2.]

由此可得[fx+1-fx=1].

所以[fx]是[1]关联的.

若[x1-x2≥0]，则总存在[k∈N]，使得[k≤x1-x2≤k+1].

[fx1-fx2=fx1-1+1-fx2=fx1-1+1-fx2=]

[fx1-2+1+1-fx2=fx1-2+2-fx2=…=fx1-k+1+]

[k-1-fx2]，

因为[1≤x1-k+1-x2≤2]，

所以[1≤fx1-k+1-fx2≤2].

所以[k≤fx1-fx2≤k+1].

所以[fx1-fx2≥0].

所以[fx]是[0，+∞]关联的.

所以[“fx]是[1]关联的，且是[0，+∞]关联的”当且仅当[“fx]是[1，2]关联的”.

【评析】该题是以集合为背景的新定义问题，合理利用新定义问题的有关性质是破解新定义型问题的关键. 该题的关键是当自变量的差是集合元素时，对应因变量的差也是集合元素. 利用这一定义的路径，去尝试判断和证明问题. 该题以逻辑用语“当且仅当”作为辅助语言，需要从充分性、必要性两方面进行数学推理论证.考查学生数学表达的能力、数学抽象、逻辑推理等核心素养，有一定的难度. 学生平时需要注重数学表达的严谨性和规范性. 该题也可以利用图象，通过数形结合进行论证. 上海卷第12题、第20题中的逻辑用语“有且只有”都需要从必要性和充分性两个方面思考、论证、推理.

三、试题解法欣赏

例9 （全国甲卷·理7）等比数列[an]的公比为[q]，前[n]项和为[Sn]，设甲：[q>0]，乙：[Sn]是递增数列，则（    ）.

（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件

（B）甲是乙的必要条件但不是充分条件

（C）甲是乙的充要条件

（D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解法1：当数列[an=-2n]时，满足[q>0]，但是[Sn]不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若[Sn]是递增数列，则必有[an>0]成立，若[q<0，]则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则[q>0]成立，所以甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要不充分条件.

解法2：因为[Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0]的等价条件是[a1，qa1>0，q>0]. 因为[a1，qa1>0，q>0]是[a1，qq>0]的真子集，所以甲是乙的必要不充分条件.

【评析】数列是特殊的函数，利用函数的方法判断数列的单调性有助于对问题的全面理解和把握，函数思想是解决数列问题（尤其是与性质有关的问题）的有效策略.

例10 （全國新高考Ⅱ卷·11）已知直线[l：ax+][by-r2=0 r>0]与圆[x2+y2=r2]，点[Aa，b]，则下列说法正确的是（    ）.

（A）若点[A]在圆[C]上，则直线[l]与圆[C]相切

（B）若点[A]在圆[C]内，则直线[l]与圆[C]相离

（C）若点[A]在圆[C]外，则直线[l]与圆[C]相离

（D）若点[A]在直线[l]上，则直线[l]与圆[C]相切

解法1：利用点到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系，圆心到直线[l]的距离[d=r2a2+b2].

若点[A]在圆上，则[a2+b2=r.] 则[d=r.] 所以直线[l]与圆相切;

若点[A]在圆内，则[a2+b2<r.] 则[d>r.] 所以直线[l]与圆相离;

若点[A]在圆外，则[a2+b2>r.] 则[d<r.] 所以直线[l]与圆相交;

若点[A]在直线上，则[a2+b2=r2.] 则[d=r.] 所以直线[l]与圆相切.

故答案选ABD.

解法2：我们知道[l：ax+][by-r2=0]是点[Aa，b]关于圆[x2+y2=r2]对应的极线，当[Aa，b]在圆[x2+][y2=r2]上时，直线[l]是圆的切线;当[Aa，b]在圆外时，直线[l]是点[A]关于圆的切点弦;当[Aa，b]在圆内时，直线[l]是点[A]关于圆的切线交点的轨迹. 这个几何意义可以推广到椭圆、双曲线、抛物线.

【评析】该题是判断命题真假的不定项选择题，需要学生从问题的本质入手，进行推理和分析，既可以利用通性、通法求解，也可以利用高观点的极点极线的几何性质求解，结论可类比到高中学习的椭圆、双曲线、抛物线，复习过程中要善于归纳、类比和总结.

集合、常用逻辑用语和复数是高中数学中重要的基本概念和基本内容，是研究数学问题的基础和工具. 通过对2021年高考集合、常用逻辑用语、复数试题的求解和分析，明确复习应注重主干知识与通性、通法，提高学生的运算能力、逻辑思维能力、表达能力、推理能力. 对简单的集合、复数运算要做到懂、会、熟;重视对定义概念的本质、内涵、外延的理解和研究路径的掌握. 理解知识块、掌握方法线，激活学生探索解决问题的能力和数学素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学 课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]孙海琴. 2019年高考“集合、常用逻辑用语、复数”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（7 / 8）：22-27.

[3]肖伟华. 2020年高考“集合、常用逻辑用语、复数”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（9）：21-27.