李仲青

笔者在使用人教A版高中课标数学必修A版《集合》时所进行了如下教材解读：

一、常用数集的记法

自然数集N.N是“自然数”的英文natural number的首字母.

实数集R.R是“实数”的英文real number的首字母.

有理数集Q.“有理数”的英文是rational number，首字母与实数的相同，也是r.由于有理数可以表示为既约分数，（m，n∈Z，n≠0，（m，n）=1（m，n互质），即两个整数比的形式，或商的形式，而“商”的英文是quotient，可能因此用它的首字母Q表示有理数集.

整数集Z.Z可能是“整数”的“整”字汉语拼音zhěng的首字母.

二、集合间的关系类比实数间的关系

“实数有相等关系、大小关系，如5=5，5<7，…，等等.类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？”

这里，5=5，还可以改写作，5≤5，因为“≤”为“<”或“=”，二者居其一；同样，5<7，也可以写作，5≤7.这样，通过这层过渡，对类比实数之间的关系想到集合之间的关系，就更加直观了.

必须注意，x<7与x≤7不同.此处，x是变量，取值“非常丰富”，7是边界（右端点）.x≤7意味着x可以取得（到）边界，而x<7中x取不到边界（右端点7）.

两个集合之间的关系，除了相等关系、包含关系外，还有交叉关系，“没有关系”，还可以有“大小”关系（对容量而言）.

三、等集概念的两次不同层次的建立

两个集合相等的概念的建立，先后经历了两个不同层次的描述方式.首先第一层次，“只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的”，这是一种最原始、最直观、最自然、最可接受，也是最合情合理的描述方式.但在两个集合相等的判断的层面上，需要“逐个地”检验，表现出检验的“丰富性”，即缺乏简洁.其次第二层次，“如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集”，则“集合A与集合B相等”.这里，“集合A是集合B的子集”，根据定义，在判断的层面上，也需要“逐个地”检验，同样表现出检验过程的“丰富性”.但是，在“子集”概念的基础上，只需要“两次”的判断，即“集合A是集合B的子集”和“集合B是集合A的子集”.“检验次数”由“多”变为“二”，体现了简洁性，这是一种质的变化.

四、子集与真子集的区别

很多同学无法弄清：“子集”与“真子集”有什么区别，下面具体谈谈两者的区别：

1.A是B的子集，A？哿B，照定义，A中任意一个元素都是B中的元素.这里体现了“任意性”.

A是B的真子集，A？芴B，照定义，它由两部分构成，首先，A是B的子集.其次，有属于B但不属于A的元素存在，或者说，B中有不属于A的元素存在.这里体现了“存在性”.这第二部分就是与第一部分的区别，亦即真子集与子集的区别.

2.A是B的子集，A？哿B，照定义，它有两种可能，或者A与B是等集，A=B，或者A是B的真子集，A？芴B.照记号看，“？哿”，也同样体现了两种可能，或者是“=”，或者是“？芴”.类似于“≤”，有两种可能，或者是“=”，或者是“<”.

A是B的真子集，A？芴B，照定义，A与B不可能是等集.亦即，“A是B的真子集”只是“A是B的子集”两种可能情形中的一种.照记号看，也体现了这一点，“？芴”，等号去掉了，即等集情形去掉了.造成同学弄不清子集与真子集的区别的另一个可能的原因是，由“图1.1-1”带出来的误解.课本中的图1.1-1是用来表示两个集合的包含关系的，但它恰恰只直观地显示了真包含的情形.包含关系还有一种情形，即相等的情形没有体现出来.

五、并集定义中的“或”

针对“由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集”，肖晶晶、连月勇等同学提出，这里为什么用“或”而不用“和”？

“和”，给人以简单加法、简单求和的感觉.后续学习集合的计数原理时，会注意到，两个集合的并集的元素个数并非两个集合的元素个数作简单的加法.

“或”，在这里，一般有三种情况，它依两个集合交叉的情形为最“丰富”而分.即“x∈A，或x∈B”，实际上包含了三种情况，①x∈A，但x？埸B；②x∈B，但x？埸B；③x∈A，且x∈B.其中，①和③体现“x∈A”，②和③体现“x∈B”.而用“和”则没能较直观地体现这三种情况.

在英文原版书上有这样的描述[1]，

A∪B={x|x∈A and/or x∈B}，

A∩B={x|x∈Aandx∈B}.

The union of two sets A and B is defined as the set whose members belong either to set A or set B or both. The symbol for union is∪，which is sometimes read “cup”，and A∪B is read either as “the union of sets A and B ”，“A union B”，or “A cup B”.

The intersection of two sets A and B is defined as the set whose members are members of both set A and set B.The symbol for intersection is∩，sometimes read “cap”. Thus，A∩B may be read either as “the intersection of sets A and B”，“A intersection B ”，or “A cap B”.

参考文献：

[1]Charles J.Merchant.Contemporary Intermediate Algebra.University of Arizona.New York：Harper & Row，Publishers，Inc.1971.