常燕

[摘 要]二次函数与直角三角形问题的突破存在一定难度，需要学生把握知识考点，灵活选用解法来构建解题思路.总体而言，可从几何、代数两大方向进行问题探究，充分利用直角三角形的勾股定理、斜率之积为-1的几何意义来解题.

[关键词]二次函数;直角三角形;勾股定理;斜率

【真题探究】

2020年江苏省徐州市中考数学的压轴题以二次函数与直角三角形为背景，其解析方法具有一定的代表性，下面笔者对其进行深入剖析.

考题：（2020年徐州市中考数学卷第28题）如图1所示，在平面直角坐标系中，函数[y=-ax2+2ax+3aa>0]的图像交[x]轴于点[A]、[B]，交[y]轴于点[C]，它的对称轴交[x]轴于点[E].过点[C]作[CD∥x]轴交抛物线于点[D]，连接[DE]并延长交[y]轴于点[F]，交抛物线于点[G].直线[AF]交[CD]于点[H]，交抛物线于点[K]，连接[HE]、[GK].

（1）点[E]的坐标为 ;

（2）当[△HEF]是直角三角形时，求[a]的值;

（3）[HE]与[GK]有怎样的位置关系？请说明理由.

解析：考题为二次函数压轴题，第（2）问探究[△HEF]为直角三角形时a的取值，下面主要探究该问的解法，不对第（3）问深究.该问涉及点E，有必要先求解（1）问中点E的坐标.

（1）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，由抛物线的解析式可知其对称轴为[x=-2a2×（-a）=1]，则点E的坐标为（1，0）.

（2）该问设定了众多的相交条件，根据交点求法即可求出关键点的坐标，将其表示为与a相关的点坐标.探究[△HEF]为直角三角形时a的取值可采用代数法，由点坐标求线段长，分类讨论不同情形下由勾股定理构建的方程.

评析：上述在突破二次函数与直角三角形问题时采用了代数法，即利用两点之间的距……