高大鹏 朱秋蓉

[摘           要]  微积分是普通高等院校理工类专业一门重要的基础课程。黎曼积分不仅是微积分学研究的核心对象，还是研究其他各类学科重要的辅助工具之一。基于教学经验，对学生怎样掌握这一部分内容提出一些思考。

[关    键   词]  黎曼积分;概念;教学

[中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2021）31-0046-02

一、研究背景

在我国古代时期，刘徽提出的割圆术就开始孕育了积分思想。在公元前7世纪，古希腊数学家在求解曲线长、曲边形面积及曲面体的体积时也含有积分思想。积分经过欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等著名数学家研究奠基后，直到17世纪初，英国牛顿从运动学出发，由力学创造流数学（微积分），同时期，德国莱布尼茨从几何学出发，由研究曲线的切线问题创立了微积分。但初创时期的微积分缺乏严格的基础，所以难免存在缺陷。19世纪，柯西通过研究得到连续函数一定存在积分的结论，随后，黎曼发现具有有限个间断点的不连续函数也存在积分，进而黎曼将柯西积分中的连续函数推广到了有界函数，并定义了黎曼积分，这在很大程度上完善了积分严谨的逻辑基础及定义。

二、黎曼积分的定义及几何意义

从求曲边梯形面积S的具体实例中可以看出，该问题可通过“分割、近似代替、求和、取极限”得到解决。忽略该问题的几何背景，可得到如下函数f在[a，b]上黎曼可积的定义。

从这个定义来看，黎曼积分首先是对函数f的定义域进行任意分割T，在分割后的每个小区间[xi-1，xi]上任意取点ξi∈Δi所得的积分和在分割的细度‖T‖→0时有唯一的极限值，则函数f黎曼可积。……