李泽英

[摘  要] 解析几何中常见证明问题，从考查内容来看，就是探究线段长、角度大小、几何要素之间的位置关系，解析过程要围绕证明问题探究成立条件，利用解析几何的基本技巧、公式定理逐步突破. 文章围绕一道解析几何综合题开展解题探究.

[关键词] 解析几何;斜率;点差法;数列;设而不求

解析几何压轴题中常出现证明问题，问题解析往往难度较大，会涉及线段长、角度大小及位置关系等. 解该类问题时需要注意利用直线与直线、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过代数等量转化、化简变形来完成证明，下面进行解题探究.

[?]解题举例

问题：已知直线l的斜率为k，与椭圆C：+=1相交于点A和B，设线段AB的中点为M（1，m）（m>0）.

（1）证明：k<-;

（2）设椭圆C的右焦点为点F，点P位于C上，且满足关系++=0，试证明

，

，

成等差数列，并求出该数列的公差.

分析：（1）该问证明直线l斜率k的取值范围，核心条件是直线l與椭圆C有两个交点，并且点M是点A和B的中点. 证明时有如下两种解法：

①韦达定理，联立直线与椭圆的方程，采用韦达定理提取根与系数的关系，利用核心条件进行转化;

②点差法，利用斜率公式，通过点坐标作差来构建与斜率的关系，利用点M的限制条件求k的取值.

（2）该问设定点F，构建了点P，给出了相应的向量关系，求证向量模成等差数列，核心条件是向量关系条件，通常利用向量的坐标运算，将其转化为代数条件，然后结合直线与椭圆的位置关系来证明. 基本过程是联立方程，由韦达定理构建根与系……