蔡军

[摘  要] 在高中数学教学中，对学生思维能力的培养逐渐从具象思维转换为抽象思维，特别是对旧知识的回顾和新知识概念的构建. 如何顺利完善在概念知识的教学中，对学生抽象思维的培养，一直以来都是高中数学教学的重点，也是难点. 文章借助实践教学经验，主要从“类比与归纳”“函数与方程”“数形结合”“从特殊到一般”“化归与转化”五个思想方面探讨在数学概念构建过程中培养学生抽象思维的重要因素以及实施方法和注意点.

[关键词] 数学概念;抽象思维;因素;实施程度

在高中阶段，初始的概念知识构建，始终离不开“类比与归纳”“函数与方程”“数形结合”“从特殊到一般”“化归与转化”这五个重要的数学思想和方法，抓住这五个思想和方法的运用特点，从其本质入手，连接各阶段学生的学情，凸显它们各自对培养学生抽象思维的重要影响因素. 了解这些因素，教师将在概念教学中确定大致的培养走向;另外，在对思想和方法的使用过程中，教师要避免它们在学生抽象思维的发展过程中容易起到的负效应.

[?]利用“类比与归纳思想”培养抽象思维

“类比与归纳”应该是人类最为常用的一种获得猜想的数学思想和方法，它们属于探测性方法，重点体现在对事物某些现象的猜想，通过猜想证明获得一般性的结论. 因此，类比与归纳最显著的一个特点是对事物个性里的共性的猜想表达与猜想证明. 在概念教学中，在获取新概念知识之前，通过类比与归纳学生已掌握的数学图形、数学概念、数学定理等，完成对新概念的“猜想”，并“证明猜想或否定猜想”，最终形成新概念知识的构建，这是课堂上让学生了解概念知识的一种常用途径，也是培养学生抽象思维的重要方法.

类比与归纳可通过学生对旧概念的理解，使得新概念的难点分散化、简洁化，从而提高学生对新概念的理解程度和效率，这在新概念教学中可以提高学生抽象思维的发展速度;而且教师可根据学生的知识基础和智力水平，不需要严格要求学生的逻辑证明，让学生能大胆地说出自己的想法，激发学生的发散思维，这在概念的构建过程中，可以帮助学生更好地理解某些抽象概念，培养其抽象思维. 但是抽象并不是胡思乱想，是以学生对旧知识的掌握程度为基础的，是需要以知识为支撑的，这是教师在使用类比与归纳教学新概念时需要把握的重要的学情. 另外，在使用程度上要控制学生思维分散过度，避免出现概念混淆、重点纷乱、脱离基础等现象.

[?]利用“函数与方程思想”培养抽象思维

函数与方程虽是不同的两个概念，但是它们之间存在着密切的关系. 在高中，函数思想主要表达的是运动变化、集合、对应，方程思想主要表达的是变量之间的等量关系，即运动变化的等量关系. 从“函数与方程思想”的角度来看，构建部分抽象概念的过程，可以理解为教师帮助学生将现实运动变化的事物抽象成有关系的数学模型，并对数学模型进行解释的过程. 在这个过程中，“变化”和“关系”是培养学生抽象思维的联系点，当概念教学涉及“函数与方程思想”时让学生了解到“变化”和“关系”的本质，就能联通现实运动变化的事物抽象成数学模型的缺口，在概念教学中发挥其作为中学数学贯穿各重要知识点的主线作用，如数列、三角函数、不等式、圆锥曲线等共同体现出的“函数与方程思想”，有利于学生深入了解抽象的新概念模型.

“函数与方程思想”一直以来都是高考的重点，自然是受到教师和学生高度重视的，但在概念教学中对其适度的把控（长度、广度）是学生初次构建新概念得以发展抽象思维的严格要求. 从长度来看，“函数与方程思想”作为教学重点，首先要夯实函数与方程的基础（抽象思维的起跑线），其次是培养学生使用“函数与方程思想”的意识（抽象思维的速度），长度的建立是贯穿各概念知识，发展抽象思维连接线的保障. 从广度来看，“函数与方程思想”以各概念知识为载体，散播着函数的“动态”和方程的“静态”，牵引着学生抽象思维的扩展，最终形成有关系的思维网络.

[?]利用“数形结合思想”培养抽象思维

数形结合的本质即“以数解形”“以形助数”，因此在概念教学中，数形结合有利于学生深刻理解数学概念，比如圆锥曲线，对椭圆、双曲线、抛物线都可以用“平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e”来定义，将图形数字化，正是培养学生抽象思维的重要途径之一. 数形结合可以借助数的精确性将形的某些属性抽象化，也可以借助形的几何直观将数之间的某种關系形象化，特别是在新概念教学的时候，数形结合不仅是培养学生抽象思维的方法之一，也是深化学生抽象思维的过程之一. 数形结合在使用过程中输出的不仅有抽象思维，还有形象思维，它们反复结合、相互转换，这在概念教学中需要教师体现出来. 为了更好地培养学生的抽象思维，教师在引导学生应用数形结合解决问题时，要着重注意以下几点：（1）对应用题的选择，首先要以数和形的契合度为标准，这样才能加强学生在练习中“以形助数”深入了解复杂的、抽象的数学语言描述，达到抽象思维和形象思维结合后螺旋上升之目的;其次是对应用题的解决，教师要时刻提醒学生数形转换的等价性和准确性，让学生明白抽象思维是逻辑思维，需要判断和推理得出结论，并非随意猜想. （2）数形结合应用广泛，是连接代数和几何的桥梁，在概念教学中就可以逐渐提及数形转换的重要性，让学生养成数形结合解题的习惯，这将加强学生的思维发展力. （3）在平时的概念教学中，教师要体现出数形结合思想的重要性，要强调学生利用数形结合这个桥梁，将代数和几何有关的数学概念连接起来形成完整可导的思维结构，在思维结构中利用具象思维培养抽象思维.

[?]利用“从特殊到一般思想”培养抽象思维

“从特殊到一般思想”的本质集中在两个词之上——“特殊”和“一般”，分别代表着思维发展的两个阶段. 在“特殊”阶段，教师将抽象的数学新概念具体化，在创设的情境中展现出来，从学生未知到建立初步认识，这个过程中，教师对情境的创设和问题的设计是关键，两者的结合需要牵引学生的最近发展区. 由于这个阶段，是由教师对概念的具体化为起点的，这个起点的高度需要教师把控，要让大部分学生都能够得上，而且这个高度不能成为深度，浪费大部分课堂时间去重复“攀爬”. 在“一般”阶段，教师将引导学生注意到“特殊情形”与“一般情形”的共性，抽象对对象的理解，即在概念教学中，可以让学生先通过“特殊情形”尝试自我抽象出一个概念的定义，然后将多个“特殊情形”归纳出共性，表达出“一般情形”. 在这个过程中，需要教师指明方向——从概念的形式推广到概念的内涵，再推广到概念的本质.

从特殊到一般，实质也体现了从具象思维到抽象思维的发展过程，经过多年的教学经验，每位教师应该都有自己的方法去表现，本文中笔者不再阐述. 但笔者认为，这个过程中需要注意避免传统的数学教学使用“从特殊到一般思想”的两个缺陷发生：其一，抽象思维的培养是学生发展智慧的必由之路，这是多数教师的共识，但对培养抽象思维的时效、把控程度和方向，每位教师是各有不同的，每位学生的知识接受能力也是不一样的，因此这里对“特殊”与“一般”呈现的时效、程度和方向，要避免完全模仿和“一刀切”的现象发生. 其二，“从特殊到一般思想”所表达的是通过特殊探索一般，再用一般去研究特殊. “通过特殊探索一般”这是容易表现出来的，而“从一般再去研究特殊”却容易被忽略，这样使得学生依据结论探究成因的能力无法培养，断绝了抽象思维进一步上升之路. 笔者认为，避免以上两个缺陷的发生，才是完整的“从特殊到一般思想”的应用标识.

[?]利用“化归与转化思想”培养抽象思维

当一个问题无法解决时，我们常常会想到换一个方法、换一个角度或换一个观点去考虑、观察、分析，将生疏、复杂、难解的原问题转化为熟悉、简易、已了解的另一个问题，这是化归与转化思想的本质. 可以说，数学中的一切问题的解决都是离不开“化归与转化思想”的，包括本文前面阐述的四种思想和方法，多多少少都体现了“化归与转化思想”，其应用范围非常广泛. 在概念教学中，利用“化归与转化思想”对学生抽象思维的培养手段主要有换元法、待定系数法、构造法、类比法、参数法、等价转化法等，助力学生将抽象的问题具体化，渗透着逻辑体系、抽象的思维形式，在学生理解抽象概念的过程中伴随着角色演变——寻求有利于理解概念的方法、角度、观点. 从“化归与转化思想”的本质出发，笔者总结到使用其培养抽象思维主要有三大策略：（1）熟悉化策略，即利用联想和回忆将未知概念或陌生概念转移到已知概念理解，需要教师的情境导引和问题导引;（2）简单化策略，即将复杂的抽象问题转化成学生能够理解的多个简单的问题，它是熟悉化的补充;（3）数形结合策略，即利用“数”“形”等价转化的关系，将抽象的问题直观化，加强学生的理解.

總之，本文所介绍的几个思想和方法对学生在概念教学中培养抽象思维都有重要作用，但并不止于这几个思想和方法，而且它们之间也不是孤立的，而是相互串联融合的，文中的阐述只是针对它们各自的独特方式和作用，希望能由此为一线的教育者提供分析建议，起一个抛砖引玉的作用.