徐清华 王瑞星 赵清波 吴克坚 刘烁

【摘要】本文用泰勒公式讨论了加减因式不可以直接使用等价无穷小替换的原因，并给出加减因式使用等价无穷小替换应满足的条件.

【关键词】等价无穷小;函数极限;泰勒公式

在高等数学00型不定式求极限的众多方法中，等价无穷小代换无疑是个很好的工具，它在很大程度上简化了极限的运算，再结合洛必达法则，往往能达到事半功倍的效果.但对于初学者来说，在使用等价无穷小代换求极限时很容易出错.在目前使用的教材[1][2]中，都是直接给出乘除因式用等价无穷小代换的定理（本文中以引理叙述），并用例子指出加减因式不可以直接使用等价无穷小代换.但是为什么加减因式不可以用无穷小代换，在什么情况下可以使用却没有进一步解释.这让很多爱思考的学生特别困惑.文献[3][4][5]中都提出了加减因式在满足条件：加减项不是等价无穷小时，可以使用等价无穷小代换.但对为什么不可以直接用无穷小代换都没有给出解释.本文从泰勒公式的角度分析了原因，并且重新证明了加减因式使用等价无穷小代换的定理.

引理[1] 设在自变量的同一变化过程中，f1（x）～g1（x），f2（x）～g2（x），且limg1（x）g2（x）存在，则有limf1（x）f2（x）=limg1（x）g2（x）.

例1 求极限limx→0tan x-sin xsin 32x.

错解 当x→0时，tan x～x，sin x～x，所以

limx→0tan x-sin xsin 32x=limx→0x-xsin 32x=0.

上述的错误解法对于初学者来说经常会遇到.错误原因在于，当x→0时，错误使用了上述引理，认为tan x-sin x～x-x，事实上，tan x-sin x～12x3.例1的正确解法是：

解 当x→0时，tan x～x，sin 2x～2x，1-cos x～12x2，

tan x-sin x=tan x（1-cos x）～12x3，所以limx→0tan x-sin xsin 32x=limx→012x3（2x）3=116.

从上面例子中可以看出，求00型函数极限时，乘除因式可以直接……