余杰先 车俊杰

摘要：基于空间几何，提出一种仿 Cassie的双足机器人腿部构型的逆运动学的显式解析解，然后利用旋量理论求解正运动学，计算出其显式解析解。为了验证解的正确性，在三维建模软件 SolidWorks中对机器人进行建模，并在专业多体动力学软件 Adams中对机器人模型进行基于倒立摆的步态仿真，仿真结果验证了运动学求解的正确性。对仿 Cassie的双足机器人腿部构型运动学分析，求解得出的正逆运动学显式解析解特别适用于机器人的实时控制系统。该运动学算法对双足机器人的运动学、动力学、轨迹规划、步态规划研究都有重要的参考意义。

关键词：Cassie;双足机器人;运动学;旋量理论;仿真

中图分类号：TP391             文献标志码：A        文章编号：1009-9492（2021）12-0135-04

Kinematics Analysis of Leg Configuration of a Cassie Bionic Biped Robot Yu Jiexian ，Che Junjie

（Department of Mechanical and Energy Engineering， Southern University of Science and Technology， Shenzhen， Guangdong 518000， China）

Abstract： Based on space geometry， an explicit analytical solution of the inverse kinematics of the leg configuration of a Cassie Bionic Biped Robot was proposed， and then the forward kinematics was solved by using the spinor theory to calculate its explicit analytical solution. In order to verify the correctness of the solution， the robot was modeled in the three-dimensional modeling software SolidWorks， and the gait simulation of the robot model based on inverted pendulum was carried out in the professional multi-body dynamics software Adams. The simulation results verify the correctness of the kinematics solution. For the kinematics analysis of the leg configuration of the Cassie Bionic Biped Robot， the explicit analytical solution of the forward and inverse kinematics were especially suitable for the real-time control system of the robot. The kinematics algorithm has important reference significance for the kinematics， dynamics， trajectory planning and gait planning of biped robot.  Key words： Cassie; Biped Robot; kinematics; screw theory; simulation

0 引言

Cassie是一种仿鸵鸟的双足机器人[1-3]，其有14个自由度，其中有4个关节是由板簧组成的被动关节。几乎全铰接的腿式结构能让腿部实现多用途的自主运动，而且当遇到较大冲击时，膝盖和后跟的板簧起到吸收冲击的作用[4-6]，有利于表现出富有弹性和高动态的运动。该机器人的末端没有直接与驱动器相连，使得机器人末端的惯性较小，从而提高机器人的敏捷性。查阅有关 Cassie的文献发现，并没有相关文献有研究过 Cassie的运动学，而更多的集中在步态控制等方面的研究[7-9]。此外，目前仿生双足机器人的运动学控制，大部分都是采用非实时系统，尽管对于绝大多数应用场景，移动机器人的控制实时性不是必须的。但是在学术研究领域以及个别极端情况下，对移动机器人也提出了控制实时性的要求，要满足这个需求，则要求运动学算法是封闭解，最好是显示解析解。本文将对一种仿 Cassie的双足机器人腿部构型进行运动学分析，最后求解出其显式解析解，为足式机器人实时控制打下坚实的算法基础[9-12]。

为了方便对该类 Cassie仿生腿式机器人平台的搭建和进一步研究，本文针对一种仿 Cassie机器人的腿部拓扑机构进行运动学分析，第一节描述该机器人的腿部机构和用于验证的仿真模型的建立;第二节利用旋量理论求解该机构的正运动学;第三节先求解末端于脚踝关节时的逆运动学，再计算末端脚掌于不同指向时的逆运动学;第四节进行运动学的验证和仿真;最有对本文做一个总结和展望[13-15]。

1 机构简化

本文研究的 Cassie单腿部机构是一种仿鸵鸟串联腿式结构。图 1所示为腿在平面 XOY 的显示图，Z 轴垂直于图片向外。由图可知，这种结构具有5个自由度{q1， q2，q3，q4，q5}，其中5个主动关节，8个被动关节。臀部的三自由度转动由 q1、q2和 q3实现，而主动关節 q4的转动，带动末端提起和放下。主动关节 q5则控制脚掌的运动。值得注意的是关节 N 和关节 O 在连接部分加了弹性零件，使得腿部末端收到较大冲击时，关节 N 和关节 B 处会弯曲并吸收来自冲击的大量能量，从而通过降低冲击速度，来减少伤害。于此同时，由于弹性元件的形变会加大运动学模型计算的难度，所以在逆运动学计算中，为了方便计算，会对其进行简化，即图1中关节O、关节 N及其相关杆件会近似看作为虚线表示的刚性杆件。

2 正运动学

尽管腿部构型是属于串联机构，但是它也有并联机构的特征，所以为了求解其正运动学，需要分离并联部件。当关节4转动而其它主动关节不动时，四边形ABCD 就会发生变形，使得末端脚掌提起和放下。此时，杆 CE 绕着关节 C 转动，关节 C 的位置也随着四边形的变化而移动。显然，不能简单计算得到该机构此部分的姿态矩阵。但如果忽略杆 AB 和杆 BC ，把关节 C 看作是一个主动关节，整条腿就变成串联连接。关节 C 转动的角度也能够由 q4计算出来，整个求解计算过程就会变得简单可行。通过旋量理论，仅仅需要各个主动关节的位置以及轴线方向，即可得到各个关节的位姿矩阵。最后，运动学正解，可以将各个位置矩阵进行连乘得到。

式中：  P 为末端位姿; P0 为末端初始位姿;1（0）T、2（1）T、3（2）T、4（3）T、C（4）T、E（C）T 分别为各个主动关节的位姿矩阵;关节 E 的位姿矩阵中的转动角度可以由 q5计算得到。

3 逆运动学

逆运动学主要是为了算出机器人运动时，其末端每一点对应的关节转动角度，从而使得机器人能够按照预设好的末端路径移动。本文研究的鸵鸟腿式结构有一特点，在运动时，胯部以下的所有关节都在同一平面。因此，本文计算运动学反解的思路主要时求出末端位置对应在该腿部平面的坐标，从而求出其他关节的转动角度。但是难点在于腿部平面会随着臀部运动而改变，正因为这样，判别腿部平面的位置尤为关键。求反解主要分为两个步骤，首先根据末端坐标、脚尖的指向和末端于脚的位置求解关节 E 的坐标，然后通过关节 E 求主动关节转动量。

目前，已知各杆杆长，末端坐标 M（x0， y0， z0），末端位于腳掌的位置 IM （距离脚后跟位置）以及脚尖指向（a， b， c）。主要思路是，首先在平面 YOZ 上，根据脚尖指向和末端坐标求出腿部平面与平面 YOZ 的交线，根据交线的斜率，可求出 q1。在平面 YOZ 上，判断末端在交线的左右边，进而求得 q2。将末端坐标和脚尖方向转换为腿部平面的坐标和向量，可求出关节 E 的坐标，利用关节 E 的坐标和各杆长度可求出 q3和 q4。最后根据脚尖指向和末端坐标，求出 q5。

3.1 求解q1

首先通过末端坐标和脚尖指向求出腿部平面方程：

求腿部平面与平面 YOZ 的交线， xa=0代入方程（6），可求得交线方程：

此时，可以求 q1、q1存在4种情况，分别为 k>0，k=0，k<0，k →∞。令θ1为上述交线与z 轴的夹角。

3.2 求解q2

求 q2前，需要在平面 YOZ 上判断末端在交线的左边还是右边。

当θ1= or - 时，

当θ1  ∈ è（?）- ， 0?（?）时

然后通过判断左右，以不同的计算方式计算出 q2，θ2 为 MO 在平面 YOZ 上的投影 NO与Z 轴的夹角。当末端在右边时，根据θ1取值的不同，有多种情况：

根据x 的取值，q2有以下的几种值

当末端在左边时，计算方式稍有变化，但道理基本相同。q2取值如下：

3.3 坐标转换

为了降低计算逆解的复杂度，将末端转化为在腿平面坐标系的对应坐标。设腿上由转动 ABCD形成的腿平面为平面 X0 OY0，点 O 与原坐标一致，X0轴与 X 轴一致。 q1=0时，y0轴与 y 轴一致，q1≠0时，y0轴为 y 轴转动 q1后的新轴。

当 q2=0时，

然后求关节E的坐标（x1， y1） ，如图2所示，沿关节I 做水平线，关节E和末端M到水平线的交点为点 K 和 L。通过判断末端端点的在坐标 X0OY0的上方还是下方，以及∠EIL 的大小来判断脚的指向，根据几何关系，算出关节E的坐标，如下：

3.4 求解q3、q4

求 q3要注意的是，关节 E 在 y0轴上或者左右两端时，求解的方式略微不同，需要进行简单分类。设关节 E 在腿部平面的 y0轴的投影为点 F，初始状态时∠DAO 为q30。根据关节E在腿部平面的坐标和各杆件，运用三角函数求出各角的值，对末端的位置进行判断：

3.5 求解q5

设CE与水平线相交于点E，与水平线形成两角，偏 x0轴负方向的角为 θ3 ，同理EI与水平线形成的角，偏x0 轴负方向的角为 θ4 。通过 θ3 和 θ4 ，求出∠GEI ，再通过三角函数求出∠EGH ，进而求出q5。求 θ3 和 θ4 需要进行情况判断，

由于脚掌的控制机构是一个四杆机构，所以∠GEI 存在最大值和最小值。当杆 GH 和杆 HI 在同一直线时，∠GEI 此时最大，当杆HI和杆EI在同一直线时，∠GEI 此时最小。当∠GEI 的值大于最大值，则取最大值，同理，小于最小值，取最小值。两极值可通过三角函数求出。q50为初始状态时，∠EGH 的值。通过几何关系可求得q5：

4 仿真结果和分析

本文利用专业多体动力学软件Adams对上述运动学算法进行可视化仿真，但是因为三维建模并不是Adams 软件的长项，所以需要借助专业三维建模软件对机器人进行三维建模。首先在三维建模软件SolidWorks中对该双足机器人进行建模，对每一个部件都附上真实的材料或质量属性，测量各个部件的质量、重心、惯量等信息。将SolidWorks里的三维模型保存为中间格式，并导入 Adams 中，在 Adams 中对各个部件设置上述在 Solid? Works里测量得到的质量、重心、惯量等信息，并添加相关运动副及驱动，设置驱动函数即可进行仿真，并在后处理截面读取相关仿真信息。

如图3所示，该踏步运动仿真验证了以上运动学算法的正确性，同时为该机器人的动力学、控制建立了坚实的基础。仿真时的要点是要保证机器人的重心始终处于支撑多边形范围内，以防止机器人倾倒。图中为运动仿真过程中的一些快照。仿真结果显示机器人利用上述求解的运动学算法，可以走出准确的步态，验证上述的运动学算法是正确的。

5 结束语

本文分析了类Cassie构型的双足机器人的腿部构型运动学，利用旋量理论求解出正运动学的显式解析解，利用空间几何求解出逆运动学的显式解析解。显式解对于机器人的控制大有益处，特别是适用于要求实时控制的场合，为足式机器人实时控制打下坚实的算法基础。本文的运动学分析方法对于相似构型的足式机器人都具有重要的参考意义，理论上可以推广至四足机器人、六足机器人等移动机器人上。最后通过专业多体动力学软件Adams对该机器人做了运动仿真验证了本文运动学解法的正确性。该运动学算法对双足机器人的运动学、动力学、轨迹规划、步态规划都有重要的参考意义。

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第一作者简介：余杰先（1988-），男，广西玉林人，硕士研究生，工程师，研究领域为工业机器人、足式机器人运动学，已发表论文3篇。

（编辑：刁少华）