陈小玺

[摘   要]研究求函数值域的方法能提高学生的解题能力.求函数值域的方法有观察法、配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图像法、利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数等.

[关键词]函数;值域;求法

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0032-02

函数是中学数学最重要的内容之一，作为函数三要素之一的值域，是这一内容的重要组成部分.求函数值域是历年高考的必考内容.求函数值域的方法有观察法、配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图像法、利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数等.

一、观察法

[例1]求下列函数值域.

（1）[y=-3x+2（-1≤x≤3）];

（2）[y=1-x2]，[x∈-2，-1， 0， 1， 2];

（3）[y=2x-1];

（4）[y=1， x>0，0， x=0，-1， x<0.]

答案：（1）[-7， 5]，（2）[-3， 0， 1]，（3）[（-∞，-1）?] [（-1，+∞）]，（4）[-1， 0， 1].解题过程略.

二、配方法

利用二次函数的配方法，是求二次函数类值域的最基本的方法.一般地，像[g（x）=af（x）2+bf（x）+c]的函数的值域问题，可以用配方法.

[例2]求函数 [y=2x+2-3×4x（-1≤x≤0）]的值域.

解：[y=2x+2-3×4x=4×2x-3×22x，]

令[2x=t，∵-1≤x≤0，∴12≤t≤1，]

[y=-3t2+4t=-3t2-43t+49-49=][-3t-232+43]，[∴ymax=43]，[ymin=1]，[∴1≤y≤43].

[例3][求函数y=x-3+5-x的值域].

解：[由x-3≥0，5-x≥0， ]得[3≤x≤5]，

∴函数定义域为[3， 5].

[又∵y2=2+2（x-3）（5-x）=2+21-（x-4）2]，[∴2≤y2≤4]，[∵y>0]，[∴2≤y≤2]，∴函数的值域为[2， 2].

三、判别式法

利用二次函数的判别式求函数的值域，一定要注意定义域.一般情况下，把已知函数转化成关于[x]的二次方程[f（x， y）=0]，通过二次方程有实根，则判别式[Δ≥0]，从而求得原函数的值域.形如[y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2]（[a1]，[a2]不同时为0）的函数的值域常用此法.

[例4]求函数[y=x2-x+12x2-2x+3]的值域.

解：由已知得

[（2y-1）x2-（2y-1）x+（3y-1）=0]   （*）

（1）若[2y-1=0]，则[y=12]，代入（*）式得[32-1≠0]，[∴y≠12].

（2）若[2y-1≠0]，则[∵x∈R]，∴Δ[=（2y-1）2-4x（2y-1）（10y-3）≥0]，即 [（2y-1）（10y-3）≤0]，[∴310≤y≤12]，

∴值域[310≤y<12.]

[例5][求函數 y=x2+4x+3x2+x-6 的值域].

解：由已知得

[（y-1）x2+（y-4）x-（6y+3）=0]  （**）

（1）若[y=1]，代入（**）式得[-3x-9=0]， ∴[x=-3]，此时原函数分母[x2+x-6]的值为0，∴[y≠1].

（2）若[y≠1]，则∵[x∈R]，∴[Δ=（y-4）2+4（y-1）] [（6y+3）≥0]，化简可得（[5y-2）2≥0]，则[y∈R]，

但当[y=25]时，代入（**）式得[x=-3]，[∴y≠25]，∴值域[yy∈R 且y≠1且 y≠25].

四、换元法

对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉……