兰巧

[摘   要]弦切角定理是每年中考必考的一个基本知识点，其在解决平面几何中的长度与角度的求值、判断、证明等相关的问题都有着广泛的应用.探讨弦切角定理的应用，对指导教师的数学教学，提高学生的解题能力有实际意义.

[关键词]弦切角定理;圆;线段;角度

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0025-02

弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）是《圆的进一步认识》的重点内容之一，在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有着非常重要的作用.下面就应用弦切角定理求值问题、判断问题及证明问题等方面加以实例剖析.

一、求长度问题

利用弦切角定理中角度相等，把相应三角形中的对应角的相等关系加以等量转化，可以用于求解相应线段的长度等问题.

[例1]如图1，在△ABC中，∠CAB及它的外角的平分线与BC及其延长线分别交于点D、E，若[△ABC]的外接圆⊙O过点A的切线AF与CE的交点为点F，若AF=2，则ED的长度为________.

图1

分析：要求解ED的长度问题，可以结合图形中的几何性质，结合推理与论证，综合应用弦切角定理、角平分线定理以及[∠EAD=90°]的性质，转化为直角三角形来分析，从而得以求解线段的长度问题.

解：由于AF与⊙O切于点A，而∠FAB、∠C分别为弧AB上的弦切角与圆周角，

则由弦切角定理，可得[∠FAB=∠C]，又AD是∠CAB的角平分线，则[∠BAD=∠CAD]，

而[∠FDA=∠CAD+∠C]，[∠FAD=∠BAD+∠FAB]，∴[∠FDA=∠FAD]，则[DF=AF=2 ].

又∠CAB及它的外角的平分线与BC及其延长线分别交于点D、E，那么[∠EAD=90°].

而[∠E+∠FDA=∠EAF+∠FAD=90°]，[∠FDA=∠FAD]，则有[∠E=∠EAF].

∴[EF=AF=2]，故[ED=EF+FD=2+2=4].

点评：平面几何中的长度求值问题，通常结合弦切角定理加以过渡，通过角度相等的关系来处理……