韦莹 罗连

[摘   要]文章结合高考的考查重点——指数函数、对数函数，分析运用对数恒等式解决指对数混合式问题的两种方法技巧：一是对数恒等式同构式转化法：[alogaN=NN>0， a>0且a≠1];二是指、对数相关不等式放缩法：[ex≥x+1x∈R]与[lnx≤x-1x>0].

[关键词]对数恒等式;同构式转化法;切线放缩法

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章編号]    1674-6058（2021）20-0018-03

一、相关性质、定理

指数函数、对数函数是中学数学重要的基本初等函数，也是历年高考数学考查的重难点.其中，涉及指、对数含参、最值等导数与函数的问题，综合性强，灵活应用性高，运用以下两种方法技巧可实现高效、创新求解.一是对数恒等式同构式转化法：[alogaN=NN>0， a>0且a≠1];二是指、对数相关不等式放缩法：[ex≥x+1（x∈R）]与[ln x≤x-1（x>0）].

1.相关性质

性质：[alogaN=NN>0， a>0且a≠1].

这个等式描述了对数的一种性质，称为“对数恒等式”，当指、对数同时出现在一个式子中时，可以考虑利用这个恒等式把常数转化成指数，其中[x=eln xx>0]就是最常用的一个特例.

2.两个定理

定理 1： [?x∈R]，都有[ex≥x+1]，当且仅当[x=0]时等号成立.

证明：令[g（x）=ex-x-1]，则[g（x）=ex-1]，

当[x>0]时，[g（x）>0]，[g（x）]单调递增;

当[x<0]时，[g（x）<0]，[g（x）]单调递减.

故[g（x）≥g（0）=0]，即[ex≥x+1]恒成立，当且仅当[x=0]时等号成立.

定理2 ：[?x∈0，+∞]，都有[ln x≤x-1]，当且仅当[x=1]时等号成立.

不等式[ln x≤x-1]的证明方法与定理1相似，这里不再赘述.

在涉及指、对数的问题中，直接构造函数比较复杂，利用这两个不等式进行放缩，可化繁为简，实现问题的高效求解.

二、实例应用

1.对数恒等式同构式转化法

同构式是指变量不同、结构相同的表达式，多表现为函数对称性的应用，形如[x1-ln x1≥x2-ln x2]，记[F（x）=x-ln x]，则原不等式可变形为[F（x1）≥Fx2].在指、对数的问题中，直接构造函数利用隐零点进行求解，分析和计……