陈英明

[摘   要]构造法作为一种极富创新精神的方法被广泛地运用于中学数学解题.而构造法在证明不等式方面，其独创性和巧妙性往往让人叹为观止.研究构造法，能训练学生思维，提高其解题能力.

[关键词]构造法;函数;不等式

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0008-03

函数、导数和不等式综合性试题在高考中举足轻重.它的特点是不等式“搭台”，函数“唱戏”.找出隐藏在不等式后面的函数是解决此类问题的关键.下面就如何构造函数进行探讨.

一、移项构造——通过移项作差构造函数

[例1]（2011年全国新课标卷改编）求证：当[x>0]且[x≠1]时，[ln xx+1+1x>ln xx-1].

证明：[ln xx+1+1x-ln xx-1=11-x22ln x-x2-1x]，令[h（x）=2ln x-x2-1x（x>0）]，則[h（x）=-（x-1）2x2]，当[x≠1]时，[h（x）<0]，而[h（1）=0]，故当[x∈（0，1）]时[h（x）>0]，可得[11-x2h（x）>0];当[x∈（1，+∞）]时，[h（x）<0]，可得[11-x2h（x）>0].综上，原不等式得证.

点评：移项作差构造函数是最直接和常用的方式.要证明[ln xx+1+1x>ln xx-1]，直接作差，观察到[11-x2]在[（0，1）]和[（1，+∞）]上符号确定，只需判定[2ln x-x2-1x]在相应区间的符号，构造函数[h（x）=2ln x-x2-1x（x>0）]，利用导数求出函数的取值范围，从而实现不等式的证明.当然也可以去分母作等价变形，再作差构造函数.

二、分拆构造——对不等式两边进行适当分配，左右两边各构造一个函数

[例2]（2014年全国课标卷改编）证明：[exln x+2xex-1>1].

思路一：直接作差构造函数[f（x）=exln x+2xex-1-1]，一阶导数、二阶导数方程都是超越方程，难于求出零点.

思路二：先把指数对数组合拆分，[exln x+2xex-1>1]等价于[xln x>xe-x-2e].设函数[g（x）=xln x]，则[g（x）=1+ln x]，所以当[x∈0，1e]时，[g（x）<0]，[g（x）]在[0，1e]上单调递减;当[x∈1e，+∞]时，[g（x）>0]，[g（x）]在[1e，+∞]上单调递增.故[g（x）]在[（0，+∞）] 上的最小值为[g1e=-1e].设函数[h（x）=xe-x-2e]，则[h（x）=e-x（1-x）]，所以当[x∈（0，1）]时，[h（x）>0]，[h（x）]在（0，1）上单调递增;当[x∈（1，+∞）]时，[h（x）<0]. [h（x）]在[（1，+∞）]上单调递减，从而[h（x）]在[（0，+∞）]上的最大值为[h（1）=-1e].因为[g（x）min=g1e=h（1）=h（x）max]，所以[g（x）>h（x）]，即[exln x+2xex-1>1].

点评：构造函数的原则是可用导数研究单调性、最值.作差构造的函数有时无法研究，尝试失败后要变换思路，通过乘除变形，构造两个可求函数，根据[f……