农学宁

【摘要】本文以沪科版《二元一次方程組的应用》为例，分析单元整体教学的原因及课时内容，阐述教学过程，诠释基于单元整体的教学思想，为教学提供参考。

【关键词】二元一次方程组 单元整体思想 教学实践

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）17-0146-03

《义务教育数学课程标准（2011年修订版）》指出：“教材内容的呈现要体现数学知识的整体性，体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用过程。”教师在课堂教学中需充分考虑数学知识的整体性，使学生在学习的过程中形成系统性思维，充分理解数学知识的本质内涵。从数学知识的整体性出发，一方面可以指引导学生从数学内部发展的需求或生产、生活的需求出发，自己根据所教知识，提出教学中的研究对象与研究问题;另一方面，可以尝试将研究框架一致（包括起源一致、研究内容一致、研究方法一致、研究用途一致）的相近概念整合在一起进行学习，这样的学习方式有利于学生从本质上把握一类数学概念的共同属性。在课堂教学中，每一个课时内容均不可能脱离于教材的整体而独立存在。因此教师要把握好单元整体的教学思想，提升课堂教学设计的立意，以更好地完成教学任务。本文从单元整体立意入手，以沪科版《二元一次方程组的应用》的教学实践为例，探讨单元整体思想在课堂教学中的应用。

一、单元整体立意分析

《二元一次方程组的应用》是沪科版教材七年级上册《一次方程与方程组》一章中的一个内容，这一章的主要知识点是一次方程（组）及其应用，主要传授模型思想、方程思想、类比思想、转化思想等数学思想方法。通过分析问题中的数量关系→发现等量关系→列出方程（组）→解方程（组）→得到实际问题的答案。这一典型的数学建模过程，是数学应用的主要方法之一。

本节课之前的内容是一元一次方程的解法和实际应用，及二元一次方程组的解法;本节内容之后，是三元一次方程组的解法和应用。由此可知，本节课的内容是对前面列方程解决实际问题的思想方法的巩固，为列多元方程组解决实际问题做好铺垫，是承上启下的重要一节课。

二、课时内容分析

本节课从实际生活中提炼出解决两个未知量的典型模型，运用二元一次方程组可以解决这类问题。在课时安排上要研究两个例题。其中例1中的数量关系虽然所呈现的条件是两个相等关系，但这两个相等关系建立的意义不同，用一元一次方程或二元一次方程组均可以方便解决。一方面，在方程的解法上对应解二元一次方程组的典型方法——代入消元法;另一方面，在解题思想上主要体现了由二元转化为一元的基本思想。因此，在教材中特意分别给出列一元一次方程的方法和列二元一次方程组的方法进行比较。例2中所呈现的模型是两个相互并列的数量关系，通过本例让学生进一步理解和掌握列二元一次方程组解决问题的典型模型，并懂得这种模型的特点和意义。

因此，本节课的教学重点是，探究用二元一次方程组解决实际问题，并体验二元一次方程组的应用模型。教学目标是，（1）能用二元一次方程组解决某些实际问题，体验二元一次方程组的应用模型;（2）通过列方程组解决实际问题，进一步体会方程思想和模型思想，培养学生运用数学的能力，体会数学与实际生活的联系。

三、教学过程

（一）情景引入

足球是当今世界上深受欢迎的一项体育运动，它牵动着亿万球迷的心，令无数球迷为之疯狂。下面请大家欣赏一段精彩的进球集锦。

〖师生活动〗观看视频。

【设计意图】通过观看进球集锦，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。

（二）探究新知

【例1】某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分。市第二中学足球队比赛11场，没输过一场，一共得27分。问该队胜几场，平几场？

〖问题1〗利用之前所学的知识你能解决这个问题吗？

[生]利用表格梳理信息，找到本题的基本数量关系：

[解]（方法1）设该队胜x场，则平（11-x）场。根据题意

得  3x+（11-x）=27

解得 x=8（场）

11-x=11-8=3（场）

[答]该队胜8场，平3场。

【设计意图】表格分析法已经在之前的学习中运用，学生对这个方法比较熟悉。这样做，一则复习旧知，二则为学生搭建新知探索的平台。显然，这个问题可以运用一元一次方程解决，但也为与后续方法2的对比作好铺垫。

〖问题2〗如果把平场数设为y，那么同学们是否可以以此解决这个问题？如何解决？

[解]（方法2）设该队胜x场，平y场。根据题意

得  [x+y=113x+y=27]

解得 [x=8y=3]

[答]该队胜8场，平3场。

【设计意图】通过对例1的审题分析，让学生体会可以利用表格梳理信息整理数据，明确未知量，找寻等量关系式。通过巧妙设问，鼓励学生思考、探究不同的方法。

〖问题3〗请同学们对比这两种方法，说说它们的不同点及各自优点是什么？

[生1]方法1只设一个未知数，列一个方程;方法2则设了两个未知数，列两个方程。方法1解方程时比较简单，方法2是设元时思路比较清晰。

〖追问1〗这两种方法有什么联系呢？

[生2]实际上方法1中的平场数用（11-x）表示，方法2中平场数用y表示，两者的实际意义相同。

〖追问2〗能否联系之前解二元一次方程组的解法，谈谈你的感想？

[生3]可以联想到用代入消元法解二元一次方程组。

[师]说得很好，正是因为y与11-x的实际意义相同，所以我们才可以用代入消元法把二元的问题转化为一元问题解决。

【设计意图】通过两种解法的深入比较、探究，讓学生懂得二元一次方程组是解决应用题的好方法。通过方法对比，让学生懂得两种方法之间的区别与联系，进一步理解之前代入消元法的本质意义。

（三）合作探究

【例2】甲、乙两人相距4 km，以各自的速度同时出发。如果同向而行，那么甲2 h追上乙;如果相向而行，那么两人0.5 h后相遇。试问两人的速度各是多少？

〖师生活动〗教师提出问题后，组织学生分小组讨论、交流。小组展示自己的解题过程，归纳解题步骤。教师注意跟踪，当学生出现不规范或错误的时候，要及时给予指导。

[解]设甲、乙的速度分别为x km/h，y km/h。根据题意

得  [2x-2y=40.5x+0.5y=4]

解得 [x=5y=3]

[答]甲的速度为5 km/h，乙的速度为3 km/h。

〖问题4〗请同学们尝试解决这个问题，并思考例2与例1有什么相同之处？

[生1]两个例子的问题均可用二元一次方程组解决。

〖追问1〗不同点？

[生]？

[师]我们不妨对比一下两个例子中的相等关系。

1.列表对比如下：

[方向 人 时间 速度 路程 同向而行 甲 2 x 2x 乙 2 y 2y 相向而行 甲 0.5 x 0.5x 乙 0.5 y 0.5y ]

2.列方程组对比如下：

例1 [胜场数+平场数=总场数胜场得分+平场得分=总分]

例2 [甲的行程-乙的行程=4甲的行程+乙的行程=4]

[生]例1中的两个相等关系意义不同，而例2中的两个相等关系意义相同。

[师]不错，例1的两个相等关系中，第一个是比赛场数，而第二个是比赛积分;例2中的两个相等关系均为行程。其中例2的问题也是二元一次方程组的一种十分典型的模型。显然这时用列二元方程比列一元方程更能方便解决问题。

【设计意图】在解决问题的过程中，让学生懂得利用示意图直观地找到等量关系是解决行程问题的常用工具，并进一步体会利用二元一次方程组求解具有两个等量关系的两个未知数的优势，使学生懂得求解含有两个未知数的实际问题。通过学习小组合作探究，让学生参与讨论，给予学生更多的思考空间，使学生的解题思路更多。然而最主要的是，让学生了解两种不同的二元一次方程组模型的差异性。

（四）尝试练习

〖练习1〗某班同学在植树节植樟树和白杨树共45棵。已知樟树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60 元。问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？

〖练习2〗已知5辆马车和4辆卡车一次能运货24吨，10辆马车和2辆卡车一次能运货21吨。试求每辆马车和卡车平均各装货多少吨？

【设计意图】从应用的模型上看，这两道练习题明显对应上面讲到的两道例题。一方面，突出二元一次方程组这种数学模型的广泛性和有效性;另一方面，使学生能在更加贴近实际的问题情境中运用所学数学知识分析问题和解决问题，提升应用意识和能力。

（五）思考辨析

〖问题5〗有人说：“凡可用二元一次方程组解决的问题，都可用一元一次方程来解决。因此，在学过一元一次方程后没有必要再学二元一次方程组。”对此，谈谈你的看法。

【设计意图】通过这个问题让学生分析二元一次方程组与一元一次方程在问题解决中的联系和区别。以便使学生更充分地理解二元一次方程组的应用模型，加深对一元一次方程与二元一次方程组之间关系的认识，懂得二元一次方程组应用模型的特点和必要性。

（六）兴趣延伸

〖练习3〗下表为某次足球比赛积分榜的部分内容。你能求出胜一场、平一场以及负一场分别积几分吗？

〖审题分析〗本题要求几个未知量，要找几个等量关系式？

〖师生活动〗教师提出问题，学生进行审题分析，不需要解答。

【设计意图】本题为学习三元一次方程组做铺垫，让学生体会运用二元一次方程组解决实际问题的这一典型的数学建模过程，逐步领略高元方程在解决问题中的模型和转化思想。

（七）小结归纳

1.本节课我们主要学习了哪些知识与方法？

2.试从本章的学习角度思考，你在本节课中还有什么收获？

【设计意图】及时归纳和提升，以达成本节课的教学目标。

（八）作业布置

1.课本第109页练习题共3题;

2.课本习题3.4第2题和第7题。

【设计意图】以分层作业的方式了解学生的学习效果，以便调整教学安排。使学生通过课后练习独立思考、自我反思、发现问题。设置不同层次的作业，使不同的学生得到不同的发展。

四、导向与反思

（一）单元整体思想的意义

从单元整体入手可以更好地理解章节课时的知识点和思想方法。教材中单元知识的设置，蕴含着学科的内在规律。通过单元整体的眼光去理解教材，可以找到前后知识点之间的关联作用、迁移和转化规律，见木成林，以取得良好的教学效果。通过这种方式开展数学教学，能让学生厘清单元目标和课时目标之间的关系，能够有计划地从单元整体上组织好教学规划，更好地做到因材施教，强化单元内知识点之间的关联，把握好整个单元的知识点。

（二）以单元整体思想进行教学设计的目标

一是整体感悟数学知识。在数学课中，整体结构化的思维能使教学效果更好。在这种思想指导下，不仅要对单元知识进行回忆，而且要在新旧知识的融合过程中激发学生学习兴趣，从而使学生主动进行学习，建构数学知识网络。学生掌握单元整体知识和课时知识之间的关系，可以使自己更有兴趣地深入探究，并在单元整体感悟的基础上完善知识结构。二是学会迁移。教师在教学中要帮助学生更好地理解和掌握数学内容，对数学知识进行自觉性迁移，从而使学生提高将数学知识进行迁移的能力，激发学生的学习热情。

（责编 卢建龙）