周思宇 (湖南省长沙市周南中学 410008)

由于常值函数没有最小正周期，故本文所研究的函数都是定义在实数集上的连续非常值函数．

1 两周期函数之和的周期性

这里的T可以视为T1与T2的“公倍数”.公倍数与最小公倍数原是在自然数范围内考虑，这里借用这一名称是为了方便，现对其意义作一个说明：若干个实数的公倍数是指同时是其中每个数的整数倍的数，最小公倍数是公倍数中最小的一个正数.[2]

根据引理1我们可以知道，y=sinx+sin 2x是周期函数，2π是它的一个周期.

推论设f1(x)，f2(x)，…，fn(x)都是实数集M上的周期函数，T1，T2，…，Tn分别是它们的周期，若T1，T2，…，Tn中任意两个之比为有理数，则这n个函数的和(或差、积、商)也是M上的周期函数，周期是T1，T2，…，Tn的一个公倍数.

对于引理1与推论有三处需要说明：

(2)引理1只是对两个函数的和(或差、积、商)的周期性提出了一个充分条件.也就是说两个非周期函数或者一个周期函数与一个非周期函数的和(或差、积、商)也有可能是周期函数．例如，f1(x)=sinx+x与f2(x)=sinx-x都不是周期函数，但f1(x)+f2(x)是周期函数．

(3)如果引理1中T1，T2都是最小正周期，则T=pT2=qT1不一定是f1(x)与f2(x)的和(或差、积、商)的最小正周期.例如f1(x)= sin2x与f2(x)=cos2x的最小正周期为π，但sin2x+cos2x=1，不存在最小正周期.

从上面可以看出，函数的周期性以及最小正周期是一个很复杂的问题．这里我们把研究范围缩小到三角多项式函数，并给出一个判断周期性的充要条件．

2 三角多项式的周期性

加强引理1的条件，可以得到如下几个判断函数周期性的充要条件.

证明 (充分性)由引理……