宋莉莉 (人民教育出版社课程教材研究所 100081)

蔡金法 (美国特拉华大学数学系和教育学院 19716)

人民教育出版社2020年出版的《数学教育研究手册》中英文对照版包括四册，最后一册是“未来篇”．如果您已经读了前面三册，可能会感到好奇：前三册已经涵盖了数学教育的几乎所有重要领域，大多数文章的作者也展望了他们所讨论主题的未来，为什么还会有这部“未来篇”呢？而且这一册里面的文章五花八门，好像也没有一个统一的主题．

这是因为《数学教育研究手册》要回答的核心问题是“怎样促进学生的数学学习”，这是一个特别重大、特别复杂的问题．如果把“促进学生的数学学习”看成一个巨大的飞轮，那么前面三册提供的答案就像是飞轮上明显突出的发力点，推动着飞轮向前转动．与此同时，人们为了让飞轮更快地转起来不断涌现出一些新的思考、新的发现，这些就变成了飞轮上新的发力点．《数学教育研究手册》第四册汇聚的就是飞轮上的一些还不太突出、但正在“蓬勃生长”的发力点，包括：与数学教育交叉的正在快速发展的研究领域，如教育神经科学、英才教育；关注未来研究者能力发展的数学教育领域博士生的培养；日渐引起各方关注的评估、数学学困生的教育、社区大学的数学教育，以及非正式环境下的数学教育．

耐人寻味的是，当我们翻开这本书时，却发现这些在几年前写成的篇章竟为当下教育中的一些棘手问题的解决提供了启示．比如，面对充斥着大量碎片化信息和不确定、不可预测挑战的现实世界，我们迫切需要培养孩子们的独立思考、创造性思维和调节情绪的能力，这就需要改变以固化的试题形式为主的考试评价，为学生创设有意义的学习机会，而本书的第32章就介绍了神经科学的研究成果如何为建构有意义的数学学习过程提供依据，第34章讨论了中小学环境下数学成就与数学创造力之间的关系，以及发展所有学生的数学创造力的方法，第35章涉及了以考查学生能力为目的的评估，第38章探讨了利用博物馆的数学展览为学生提供创造性、多样化的、在耳濡目染间的数学学习机会．又如，我国中小学学生学习负担过重的问题已经引起了社会各界的高度关注，“强化学校教育的主阵地作用”①(1)①2021年5月21日，中央全面深化改革委员会第十九次会议审议通过了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，该文件指出“减轻学生负担，根本之策在于全面提高学校教学质量，做到应教尽教，强化学校教育的主阵地作用”．被提上了日程，本书的第33章就讨论了美国中小学采用的满足学生多层次需求的“干预反应/多层支持系统”，第36章探讨了为培养出能胜任当今的数学教学或教育研究的数学教育博士所应开设的高水平课程．再如，在大力发展职业教育的背景下，要提升中等职业学校和高职院校的数学教学质量，或许能从本书第37章有关美国两年制社区大学预科的数学教育研究的讨论中获得启发．

鉴于本文的目的是为大家提供导读，接下来我们将先带领大家了解《数学教育研究手册》第四册的主要内容，再重点介绍几个我们可能都感兴趣的研究，以及一些新颖的研究方法．

1 主要内容

与前面几册的作者一样，本册书的作者也都是“知识萃取”的高手，他们巧妙地把数学教育领域内某个主题的最全面、最新的研究通过综述组织到一起，不仅讨论了它们本身存在的必要性、已取得的成就、正面临的挑战，还系统地提出了对它们的未来发展具有前瞻性的见解．

尽管人们对“教”与“学”的内在心智活动的成功设计取得了可喜的研究成果，但也不得不承认，那只是对心智活动过程与规律的一种推测．第32章“数学教育神经科学：希望与挑战”的作者认为，数学教育神经科学的发展，特别是功能磁共振成像技术和脑电图的使用，已经在神经科学和教育学之间铺设了“一条可以双向通行的街道”．

本章聚焦于大脑的额叶-顶叶网络，这一网络所产生的三种主要心智活动“感觉运动活动”“空间推理”和“认知功能”都在数学学习中扮演了重要的角色．作者通过对两个具体内容——分数和函数的学习过程，说明了数学学习的神经逻辑基础是怎样的，并揭示了两个著名的数学学习模型——体验认知和行动-对象理论是如何与额叶-顶叶网络中的神经活动相对应的．数学教师在读这一章时最关心的问题，可能是教学中设计的某个具体的学习过程的有效性能否在神经活动中得到验证，以及后者能否为改善教学设计提供启示．作者以一个小例子(分数学习)说明了这个问题，我们将在下文中详细介绍．

第33章“满足数学有障碍和困难的学生需要的教学”的作者选取了一个独特的视角——从数学教育与特殊教育①(2)①在美国，学习有障碍学生的教育属于特殊教育领域．的共性和差异中探讨提高学困生数学学习能力的途径．本章讨论的5个主题包括：用于支持数学学困生的分层预防干预模式、数学的教学模式和方法、对算法的教学、学生在数学学习过程中练习什么和何时练习，以及如何评估学生的数学学习效果．除了为满足学困生特殊需求的分层教学支持系统在我国的学校中还没有正式建立以外，其他4个主题所涉及的两种模式似乎会同时出现在我们的课堂上．

第34章“数学教育中的创造力和天才：务实的角度”的目的是推动数学教育中有关创造力和数学天才的研究．从中可以看到，两位作者是如何在数学教育的背景下澄清并勾勒出创造力和数学天才这两个概念的．作者还介绍了美国、德国、俄罗斯等国在培养数学天才学生方面长期积累的成功经验，以及能够发展所有学生的数学创造力的方法．我们还能了解到，为什么作者认为“学校教育环境下的数学创造力是在天才的边缘”．

第35章“教师问责制时代的评估”探讨了美国数学教育评估的方方面面，包括：评估的目的如何从区分学生的手段演化成教学过程的一个不可或缺的基本部分，“促进学习的评估”(也叫“形成性评估”)的要素、设计上的困难，基于这类评估数据的教学设计，以及这类评估是如何评估学生的数学表现的，还有对教师来说具有高风险的基于标准的评估的发展、基于计算机的评估，以及学校与教师的责任制评估等．在文章的最后，作者讨论了评估在促进学生学习方面的局限性，以及为改善这种情况可以开展的对评估的研究．

基于“美国数学教育博士生培养系统，严重低估了数学教育工作者完成工作所需的训练深度”的学界共识，第36章“数学教育博士学位：发展历程、高水平课程的构成及未来展望”的作者讨论了数学教育博士课程应包括的核心知识，以及培养下一代数学教育博士所面临的一些挑战．这些挑战不仅包括建立课程的认证制，还包括平衡为研究而准备与为教学而准备的关系，以及平衡共同核心知识与跨学科合作、专业化领域需求之间的关系等．

在美国，两年制社区大学承担了普通教育、职业培训、成人自我充实等多项功能，在保证国家教育公平方面发挥了重要作用．第37章“美国两年制公立学院中的数学教育”的作者梳理了有关社区大学数学教育的早期和当前研究，她发现这些研究的议题仅仅围绕学业“成功”，而且具有对学生、教师及课程等调查对象都持有缺陷观，只表面关注数学和学习内容的特殊性等特点．作者呼吁研究者为了学生有光明的未来，接受社区学院环境和教育目标的多样性，设置更广泛的研究议题，并吸纳教师参与到研究中．

非正式数学教育不一定发生在课堂之外，但却具有内容跨学科，学生自愿参加、相对自由地按自己的兴趣学习，对所学内容的认识呈现多样化等课堂学习可能不具备的特点．第38章“走近充满活力且具有社会意义的非正式数学教育”的作者通过4个对博物馆数学展览中的学习的研究，探讨了非正式数学教育研究的一般性问题，包括更加自由的学习环境，交互式、多感官的技术，自发的、社会化的合作所塑造的数学学习的特点，以及如何关联博物馆的数学学习与学校的数学学习等．

2 一些能带来启发的研究

本书的很多研究都能给我们从事的数学教育工作带来启示，下面我们只详细介绍其中的3个．

2.1 对“分层预防干预模式”的研究

第33章介绍的对学生的数学学业进行干预的分层预防干预模式指的是“干预反应/多层支持系统模式”，这个模式具有多层和全面两个特点．“多层”指的是系统提供了三级服务：层级1是为所有学生设置的核心课程，它应能满足80%学生的需要；剩下20%的学生可能需要额外的支持来达到预期的学习效果，这其中的15%将接受层级2提供的小组教学，小组教学既包括面向二级干预所有学生的教学“包”，也包括为有特定需求的学生提供的差异化教学，比如帮助他们理解分数；层级3为剩下的5%的学生提供高度专业化、密集化和个别化的干预(图1)．“全面”指的是这种干预模式还对全体学生学习的薄弱环节进行“全体筛查”，对层级2和层级3的学生进行“学习进度监控”，并且基于数据制定干预教学决策，或让学生在层级之间进行流动．

图1

干预反应/多层支持系统在美国的覆盖率已经从2007年的大约25%，增长到2010年的超过60%．对这种干预模式的研究给教育者带来了下列启示：(1)要保证为大多数学生提供的核心教学的质量，如果有较大比例(如超过50%)的学生被诊断为需要干预，就说明原有的核心教学是无效的．“一个严格的有效教学”应该是大多数学生能够适应的，对学生的区分在一个合理的水平上．(2)为了缩短需要干预的学生与当前的年级教学在技能和概念理解上的差距，干预教学的内容应该与年级教学内容相关联．

2.2 关于教育环境下数学创造力、数学天才与数学成就之间关系的实证研究

第34章的作者引用了大量的实证研究来说明在教育环境下，学生所取得的数学成就与他是否具有数学创造力或者是否是数学创造性天才之间的关系．在所有这些研究中，数学创造力通过对发散能力的测量来判断，而数学成就用成绩、标准化测试结果、奖励、职业选择等来鉴别．

一些研究发现，数学创造力和数学成绩之间存在着显著的正相关关系，但另外一些关注更细致变量的实证研究则发现了二者之间的区别：在数学上取得高成就的学生在解决不寻常的数学问题时，需要借助一些指导才能显示出数学创造力；虽然数学成绩优异生和创造性天才学生在能力、价值或自我效能方面没有表现出任何差异，但后者对认知策略的使用多于前者；解决传统的算法问题的能力是所有学生都具备的，而对于需要一定形式的洞察力来解决的复杂问题，则需要学生具有“天才和高智力”的能力水平．由此，作者Havvold得出结论“K-12环境下数学成就未必一定意味着数学创造力”．在中国，我们需要系统地考虑如何对数学上有天分的孩子进行特殊教育，而这种特殊教育并不一定是奥数．

2.3 对“表现评估”的研究

评估是教学的有机组成部分．第35章的作者通过分析不同评估项目中的表现评估任务，提出了表现评估应关注的主要问题．表现评估是形成性评估的一种，美国《州共同核心标准》对表现评估任务做了规定：“衡量学生跨多个标准整合知识和技能的能力……和深入理解、研究技能和复杂分析等的能力．”“数学评估计划”开发了“新手”“学徒”和“专家”三种类型的表现评估任务．图2是为高中生开发的“专家”水平的题目．这样的题目包含了“一个丰富但较少结构化的任务，需要策略性的问题解决技巧和内容知识”，学生可以用不同的方法来解决这类问题，但是需要解释他们的思考过程．图3是“美国教育进展评估”为8年级学生开发的考查思考和推理能力的题目．

图2

图3

设计这类题目的难度是显而易见的，同时作者认为，要保证这类题目的评分是“可靠的”也非常困难．例如，设计者为图3中的第3小题提供了多个可以被判定为正确的答案，但一些学生虽然很好地理解了问题，却可能因为没有在答案中提供足够的细节而失分．况且大多数8年级学生平常并没有被要求写出解决问题的推理过程，他们并不擅长做涉及深层思维和解释能力的题目．所以尽管得到第3小题分数的学生只有8%，但作者认为学生对数学概念的理解程度可能被低估了．此外，如果这种评估常常只能记录学生不能做什么而非学生能做什么，那教师就不能从评估结果中获得足够的信息去改善他们的教学．

3 一些新颖的研究方法

本册书介绍的研究方法虽然不像其他三册书那样丰富，但也有一些是令人耳目一新的，下面我们就介绍其中的两个．

第32章的两位作者和他们的同事设计了一个实验，检验六年级学生在协调分割和迭代两种心理行为时的大脑活动．这里的分割和迭代分别指学生在学习分数或代数内容时，“在大脑中将一个给定的长度或面积分割成一定数量的部分”和“将某一给定长度或面积迭代一定次数来构建一个更大的长度或面积”的心理行为．而分裂指的是“在分割给定长度或面积的同时，也明白所得到的任何一部分都可以通过迭代来复原整体”的心理行为．作者使用功能磁共振成像和脑电图来测量大脑的活动，前者以毫米级的精度识别活动的精确位置，后者则以毫秒精度测量活动的时间，这样不仅可以识别与活动相关的大脑区域节点，而且能够理解这些节点如何在一个网络中一起工作．

参加测试的六年级学生被要求解决类似于图4中的任务．在首先使用脑电图监测的试验中，作者发现，当学生在描述他们在大脑中进行的分裂活动时，脑电图显示了额叶-顶叶很强的一致性，而在分割任务中，额叶-顶叶脑电图的一致性较低．这说明分裂任务对学生有更强的认知需求，需要更大的工作记忆资源来协调分割和迭代两种活动．当这些学生再次返回实验室参加由功能磁共振成像技术测量的实验时，他们左后上顶叶帮助管理空间工作记忆的部分被激活了，这一区域是规划手指动作的，作者发现这一区域对分割和迭代动作的协调和对手指动作的协调具有很高的相似性．因此，这个实验不仅说明了神经科学的研究通过将假设的心理活动(例如分裂)与可区分的神经活动相关联，可以为学习理论提供验证，而且说明像分裂这样高级的数学活动可以通过分割与迭代这样简单活动的组合来实现．有意思的是，随着学生处理分裂任务能力的增强，他们大脑中额叶-顶叶的连接减少了，这表明顶叶区域重组了，因此在完成分裂任务时对额叶参与的需求减少了．

图4

第38章的作者用4个对博物馆数学展览中数学学习的研究，来说明非正式数学教育领域所普遍关心的问题．非正式数学教育与无目的、无计划的“日常数学教育”不同，它的教育环境往往是为支持某种特定目的的数学学习而设计的．然而，在博物馆等非正式的数学环境中，学生常常意识不到活动中的数学在哪里，更不用说感受到数学的价值了．所以作者认为，未来非正式数学教育研究的一个发展方向是探讨校外教育环境中哪些才算是数学，以及这些数学是为谁而设计的．

例如，在作者介绍的第4个研究“学校实地考察‘数学动起来！’”中，参加实验的学生先在博物馆参加实践活动，然后回到教室与教师交流，这些自然状态下的活动都被录像记录了下来．研究人员通过分析活动视频中的生生互动、师生互动，探讨学校和博物馆数学学习经验之间的复杂关系．在其中的一个案例中，学生在博物馆参与了一个名为“影子分数”的实验(图5)：放置不同尺寸的塑料房子，让它们的顶部刚好触及一条细线，这条细线和一块磁铁把点光源和垂直网格连接起来，使得光正好把影子投影到网格上．由于这些房子的形状是相同的，所以它们的影子会在网格上重合．在回到教室的讨论中，学生想知道磁铁和细线的作用是什么，教师引导他们把实验与数学课上学过的表示一定斜率的直线和相似矩形的知识联系起来．这个研究设计的活动有利于学生借助学校的数学学习经验认识活动中蕴含的数学，从而拓展对“什么是数学”的理解，同时获得用更有创造性和多样性的方式学习数学的体验．

图5

4 结语

至此，我们为您提供的导读就结束了．我们相信，无论您在数学教育中遇到什么难题，都能在本书或者本套书中获得解决的灵感．希望在您的书架上最凌乱的地方发现这套《数学教育研究手册》，因为那说明您经常需要翻看它们．

同时，我们必须明确地指出，这些研究毕竟都是在别的国家和地区进行的，正像主编在中文版序言中说的那样，原文作者很少引用中文发表的文章，所以鼓励读者阅读相关的中文文章．我们也鼓励读者批判性地阅读本手册——这些结论在我们的课堂上也成立吗？为什么成立或者不成立？更重要的是，我们坚信教师是研究者，我们更期待一线教师和教研员能够直接系统地参与到教学研究中来．愿这套书能助力教师和教研员们从事教学研究！