杨良畏 陈晓明

【摘 要】 数轴表示不等式（组）解集，部分师生对数轴概念辨识不清.本文通过再现数轴概念建构教学探究，实现概念深化理解，在学习过程中有效渗透数形结合思想、几何直观、逻辑能力、数学抽象、应用意识，提升学生数学核心素养.

【关键词】 数轴;概念;建构;数学核心素养

数轴是初中数学的核心概念，它是数形结合思想的产物，学习数轴是把数和形统一起来的第一次尝试.数轴建立了直线上的点与实数的对应，是一维的坐标系.它是理解数与数的大小关系、数的加法运算的直观工具，是数与形的桥梁.数轴使数的概念和运算可以与位置、方向、距离等统一起来，使数的语言得到了几何解释，数有了直观意义.这不仅有助于对数的理解，而且还可以从中得到启发而提出新的问题或结论.数轴概念是大家熟知的一个基本概念，部分师生用数轴表示不等式（组）时，却对数轴辨识不清，出现一些争论.本文从数轴概念建构去分析“三要素”，加深对数轴概念的理解.

1 数轴表示不等式（组）解集的误解

不等式与不等式组解集的表示方法主要有两种：一种是用代数式子即用最简形式的不等式（x>a或a75，如图1.

第三节“一元一次不等式组”，在数轴上表示40

教学生用数轴表示不等式（组）解集时，部分学生认为教材数轴画错了，没有标注数字“1”，所以不满足数轴三要素的“单位长度”.科组工作群里也有教师也提出数轴概念辨识不清问题.甚至有些教师也有此疑问，教材是不是画错了.数轴是可以表示任意一个实数，同时任意一个点只能表示一个实数.在这样的要求下，明确规定原点、正方向和单位长度“三要素”是必须的.科组里其他老师没有注意这个问题，也不知道如何解释，几个经验丰富的老教师给出了一个理由：用数轴表示不等式时，可以不严格的规定数轴“三要素”，借助数轴的目的主要是为了方便看出解集.有些老师认为这种解释很合理，而且还展示教材都没有标示出单位长度“1”.有些教师还打开“数轴”概念那一节说明只有强调概念时才严格“三要素”，后面凡是应用数轴時，不需要强调“三要素”，还引例部分辅导书或试卷在数轴上设计的动点问题，如图3，这种不仅没有“单位长度”，而且“原点”都没有.

笔者对此解释不是很赞同，仅赞同一点，那就是数轴是解决代数的工具，方便解决代数问题.数轴本是几何与代数的桥梁，是体现数学数形结合思想的重要工具.数轴的核心是“三要素”，即使是借助数轴来解决代数问题，也不可忽视“三要素”.笔者特意上网查询相关资料，发现很多师生对数轴概念理解存在一些困扰，尤其是用数轴工具解决其他代数问题时，产生对数轴“三要素”模糊不清情形，其本质是对数轴概念的理解不深.

2 数轴“三要素”概念建构分析

为了重新去理解数轴概念，笔者下面从两个方面去阐述.一是从数轴概念教学过程去厘清数轴概念的本质及产生误区的原因;二是数轴“三要素”疑惑探究.在三要素探究过程中，主要是针对大家关注点高的“单位长度”、“原点”两个要素进行说明.

2.1 人教版教材过程设计分析

问题：在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境.

设计意图 可以根据学生画图反馈提问“马路可以用什么几何图形代表？（直线）”、“站牌起什么作用？（基准点）”、“怎么确定问题中各物体位置？（方向，与站牌的距离）”.“三要素”为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题.这是实际问题的第一次抽象.

紧接着，教材抛出思考：如何用数表示这些树、电线杆与汽车牌的相对位置呢？

上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义.我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，在一条直线上取一个点O为基准点，用0表示它，再用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点，这样，用负数、0、正数表示出这条直线上的点.如图4.

教材也刻意给出了“1”的位置，并且在后面归纳“三要素”中“单位长度”表述为“选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…;从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…（如图5）”[2]这里又出现数字“1”，并且教师教学配套用书里面也特意强调“单位长度1”.这是很多师生对“单位长度”辨识不清的原因之一.

2.2 数轴“三要素”疑惑分析

教材通过实际情境，设问方式，引入数轴概念，体会数形结合思想.数轴三要素在教材中阐述非常清晰，为什么学生甚至有教师仍然对数轴辨识有困难，其原因主要有两个方面.

（1）对概念的理解不够深入.大多数学生只是记住了“三要素”，这种识记只是停留在肤浅的概念上，而未真正从数轴概念来源去理解“三要素”.教材从生活情境入手引入数轴概念，并作解析“三要素”缺一不可.另一个是教材误导性较大，教材画出了数轴，刻意强调了单位1，并在数轴上标注“1”的位置.这在潜意识里让学生在画数轴时，一定要将数字“1”标注清楚，否则“三要素”中的“单位长度”不存在.所以部分师生认为教材在不等式（组）用数轴表示解集时存在错误.

其实，如果我们回过头重新去看数轴概念教学情境建构过程，不难发现“三要素”中“单位长度”是表示与相应参考物的距离，可以通过两参考物的等刻度划分确定其他位置.笔者曾在探究数轴概念时，学生利用比例长度来刻画距离，其实数轴中单位长度就是小学已经学过的比例尺[3].在日常教学中，教师总是强调数轴单位长度选取要根据实际问题来选取，这与小学数学中选取恰当的比例尺是一个道理.

“单位长度”与小学学习的“单位1”不是一个概念，“单位1”是人们设定的一个参考标准，单位长度就是可供参考的标准，它没有固定值，依设定而变动，不是实际的长度计量单位，往往其是根据实际情况而设定，并未有固定长度.

很多学生把“单位长度”看作“单位1”，从而错误的认为数轴上一定需要标注“1”才算是有“单位长度”.所以数轴可以是图2情形，不需要有“1”才规定它是“单位长度”，只要能找到一个参考的值去表述就可以，这个值当然包括0在内，如图1（只有0参考）.为了让大家更明白等刻度划分，特举一反例：如图6这种就不能说它是数轴，因为它没有等刻度划分，不难发现0到40的距离和40到50的距离差不多，这就明显不是等刻度划分，用数轴概念区分就是缺少“单位长度”.

（2）对数轴概念的理解还存在一个误区就是在表示解集时候，是否需要标注原点0.有部分教师认为看情形而定：如果是出现一正一负两个数，需要标注原点，用来区分正负;如果只是出现两个正（负）数，不需要标注原点.

上面这种说法在日常教学中经常见到，主要是为了方便，另外也只是将数轴作为一种工具，认为能辅助解题即可，不需要严格的“三要素”.甚至很多辅导资料也是没有标注原点，常见这样的情形，如图3（数轴没有原点，只有-a，a）.

笔者对此观点表示异议.教师不能为了省事就随意去掉原点来画数轴，数轴“三要素”是数轴必须存在的，没有原点的数轴肯定是不能称之为数轴.“原点”在数轴是“基准”，表示0，是表示正负数的分界点.虽然我们可以根据数轴上任意两个数等刻度划分确定原点位置，但是“原点”是属于数轴内涵性质，是先有了原点才确定了数轴，不能本末倒置，更不能为了所谓的方便去省略原点.尤其是在初中教学中，教师更是不能为了方便去省略原点.数轴可以直观的阐述数学概念和运算，有机统一了距离、位置和方向等要素，培养学生几何直观素养。

3 数轴概念教学导向分析

数学概念的学习是数学学习的基础.正如李邦河院士说：“数学根本上就是玩概念，不是玩技巧.数学概念是人类智慧的产物.”数学概念范围广泛，而且抽象，随着概念内涵的丰富，其外延就越广.数学概念教学的基本目标就是让学生理解概念，并能运用概念表达思想和解决问题.概念教学在数学教学中有着关键的地位，是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行思维的核心.具体到教学中，我们教师应做到以下三点：

（1）注重引导学生发现和提出问题.在数轴“三要素”概念辨识过程中去理解概念的本质.巧设问题梯度，逐步深化理解“单位长度”.教学中，对简单概念，不能以看代讲.很多概念，看似简单，但內涵较深，部分教师教授数学概念采用识记方式，一带而过，学生在学习概念过程中，不清楚数学概念的内涵和外延.数轴中“单位长度”就是小学已经学过的比例尺另类形式，它们的作用都是选取恰当的长度来刻画物体所在的位置.教学中，应注重引导概念产生的背景，数学概念很多是从生活实际问题中抽象出来的，在原有的数学基础上抽象至一般，与原有数学知识存在关联性和逻辑性.

（2）遵循认知规律，建构数学概念.让学生作为认知主体积极主动建构数学概念.建构主义认为学习是学习者基于原有的知识经验生成意义、建构理解的过程，而这一过程常常是在社会文化互动中完成的.教科书上的数学概念往往是直接呈现，缺少一定的认知规律，这种下定义方式的概念教学，很难让学生理解数学概念的系统性和数学思维的生成.所以数学概念教学应当遵循认知规律，引导学生基于原有的知识经验领悟意义、建构概念，暴露思维活动，领悟概念形成过程中的数学思想.

（3）重视数学抽象，提升核心素养.数学中很多概念是从生活实际问题中抽象出来，学生初次接触，会非常困难.数轴“三要素”是用几何符号表示实际问题.这是数学对实际问题的抽象处理.后面还有很多这种抽象概念，例如单项式、函数等数学概念.师生在探究这些抽象概念时，教师需要引导学生抓住概念的本质，从形象到抽象，各个击破，深刻解读概念.对于数学教育的最终目标，史宁中教授提出：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.作为数学核心素养，数学核心素养中的“抽象”“推理”“建模”就是学生在观察的基础上，通过思考数学内在联系与逻辑，建立数学模型.数轴概念的生成应从生活情境中表述位置，经历数形结合思想的探索与学习过程，慢慢抽象出数学问题，形成数轴概念.有了数轴概念的形成，可以用数轴上的点直观地表示有理数，从而为后续的理解相反数、绝对值和不等式（组）解集提供几何直观工具，培养直观想象素养.通过数轴概念学习，实现数学抽象，在新概念的学习过程中有效渗透数形结合思想、几何直观素养、逻辑推理能力、应用意识.只要我们重视数学概念生成，有意识渗透数学基本思想，那么提升学生的数学核心素养就会水到渠成[4].

参考文献

[1]林群.义务教育课程标准实验教科书·数学七年级下册[M].北京：人民教育出版社，2012：114-128.

[2]林群.义务教育课程标准实验教科书·数学七年级上册[M].北京：人民教育出版社，2012：7-8.

[3]杨良畏.小组合作探究教学模式对数学能力培养的研究[J].数学教学通讯，2018，（05）：55-56.

[4]徐艳.基于核心素养的概念教学——以“一元二次方程”为例[J].中学数学教学参考，727（29）：14-17.