袁玉娟

【摘要】本文以一道高考解析题的一题多解、一题多变为例，通过背景探究、追踪溯源发现问题的本质，透过逻辑反思演绎出对称问题的结论.整体脉络上体现了从特殊到一般的逻辑推理的核心素养，达成了从一题多解到多题一解的化归.解析几何占据了高考压轴题的半壁江山，思维量大、难度高，所以学生学习时要做到“做一题、归一类、得一法”.

【关键词】解法探究;变式探究;等角定理;对称进阶

一、出示例题

设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程.

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

分析：解析几何中证明角相等常用到斜率相等或互为相反数、角平分线定理、余弦定理等.观察图形容易看出∠OMB 恰好为直线MB的倾斜角，∠OMA恰好为直线MA的倾斜角的补角，所以只需证kMA+kMB=0.

（1）略.

（2）解法一：当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.

当l与x轴不重合时，设l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=my+1，x22+y2=1得（m2+2）y2+2my-1=0，

所以y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2，Δ>0，

所以直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2=2my1y2-（y1+y2）（x1-2）·（x2-2）=0.

故直线MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.

评注：此种方法将角披上了三角函数家族中正切的外衣，将角相等转化为斜率互为相反数.先由角及“斜”，再通过数学运算由因导果.罗增儒教授说过，“问题一旦获解，就立即产生感情上的满足，从而导致心理封闭，忽视解题后的再思考，恰好错过了提高的机会，这无异于‘入宝山而空返”.解析几何可谓数学思想的战场，课堂教学不只要 “会” 解一题，更重要的是让学生“汇”解一题.学生要学会从多角度挖掘题目中潜在的深层结构，由一个……