程彦亮, 邵勇

(西北大学数学学院, 陕西 西安 710127)

1 引言

设(S,·) 是交换半群. 若对任意a ∈S有a2=a成立, 则称(S,·) 为半格. 设(S,·)为半格, 在S上定义偏序如下:

由偏序的定义, 对任意a,b ∈S, 易知,ab是a与b的最大下界. 若存在c ∈S,有a ≤c ≤b ⇒c=a或c=b, 则称b覆盖a或a被b覆盖, 记为a ≺b[2]. 设X是偏序集(S,≤) 的非空子集, 若存在a ∈X, 使得对任意x ∈X, 有x ≤a ⇒x=a,则称a为X的极小元. 若存在b ∈X, 使得对任意y ∈X, 有b ≤y ⇒b=y, 则称b为X的极大元. 设(S,·) 为半格, 对任意M ⊆S,M ̸=∅, 若M含有极小元, 则称S满足极小条件. 若M含有极大元, 则称S满足极大条件. 设(S,≤) 为偏序集, 若对任意a,b ∈S,总有a ≤b或b ≤a成立, 则称S为链. 若链满足极小条件, 则称该链为良序链.

定义1.1[1]设E是链, 若对e ∈E, 集合{x ∈E|x

定义1.2[3]设E是半格, 若对任意e ∈E, 有Ee={f ∈E|f ≤e}, 则称Ee为由e生成的主理想.

定义1.3[4]设E是半格, 若对任意e,f ∈E, 有Ee～=Ef, 则称E为一致半格.

若Ee～=Ef ⇒e=f, 则称E为反一致半格.

例1.1设E=Cω={e0,e1,e2,···}, 其中e0>e1>e2>···, 则对任意en ∈Cω,由en生成的主理想为Cωen={en,en+1,en+2,···}. 易知对任意em,en ∈Cω, 其中m,n ∈N={0,1,2,···}, 有Cωem～=Cωen成立. 因此Cω为一致半格.

定义1.4[1]设S是半群, 若对任意a ∈S,a有唯一的逆元, 则称S为逆半群. 若在逆半群S上, 格林D关系为泛关系, 即D=S×S, 则称S为双单逆半群.

由文献[5] 知, 若S是双单逆半群, 则由S的幂等元形成的半格为一致半格, 而半格为一致半格的逆半群并非都是双单逆半群. 例如, 一致半格自身是逆半群, 但是它不是双单逆半群. 但是, 的确存在一个这样的双单逆半群, 即由该一致半格对应的Munn半群. 由文献[1] 知, 不同类型的一致半格所对应的双单逆半群具有不同的结构, 例如,半格同构于Cω的双单逆半群为双单逆ω- 半群. 文献[3] 通过半格之间的一个类型积构造了一致半格M(r). 文献[6] 探究了半格同……