熊涛

(西华师范大学数学与信息学院, 四川 南充 637002)

1 引言

本文规定,R恒指有单位元的交换环. 对R- 模N, pdRN代表N的投射维数.用gl.dim(R) (对应地,w.gl.dim(R)) 表示R的整体(对应地, 弱整体) 维数. 对于未解释的概念和符号, 参考文献[1-2].

余挠模受到诸多文献关注. 文献[3] 中R- 模C称为余挠模是指对任何平坦模F,都有Ext1R(F,C) = 0. 每个模都有内射包, 与内射包相对应的概念是投射盖. 人们自然要问, 每个模是否有投射盖. 文献[4] 证明了每个R- 模有投射盖当且仅当R是完全环(每个平坦模是投射模). 随着盖包理论的发展, 文献[5] 提出了平坦盖猜测(Flat Cover Conjecture, 缩写为FCC): 每个R- 模有平坦盖. 此后, 多篇文献讨论了平坦盖的存在性. 文献[6] 借助余挠模, 彻底解决了FCC: 任何环上, 每个模都有平坦盖和余挠包.

同调维数是刻画环的重要工具. 环R是完全环是指每个R- 模都有投射盖, 等价地,每个平坦R- 模是投射模. 文献[8] 中定义1.1 称R为n- 完全环是指每个平坦模的投射维数不超过n. 文献[7] 中推论7.2.7 证明了环R是完全环当且仅当Cot.D.(R)=0;文献[7] 中, 推论7.2.6 证明了环R是n- 完全环当且仅当Cot.D.(R)≤n.

作为一种新的同调维数, 自然需要探讨, Cot.D.(R) 与经典的同调维数之间的关系和差别. 本文探讨了这一关系和差别.

2 环的余挠维数

先研究Milnor 方图上的余挠维数.

说方图1 是拉回图(或者笛卡尔方图) 是指i1与i2是内射的, 且j1与j2是满射.此时规定R ⊂T, 且做如下标识

图1 环与同态的交换方图

从而, m 是R与T的共同理想, 且满足D=R/m 与F=T/m. 此时, 笛卡尔方图便成了如下可记为(□) 的形式:

如果T是整环, m̸= 0 是T的极大理想.φ:T →F是自然投射,D是F的……