史婷婷, 张顺利

(西北大学数学学院, 陕西 西安 710127)

1 引言

对称和守恒律在物理, 数学和其他自然科学领域有着举足轻重的作用. 无穷多守恒律的存在是证明方程的可积性的强有力证据, 对于一个具有无穷多自由度的非线性系统, 如果它具有无穷多的对称性和守恒律, 则该系统是在具有无穷多守恒律意义下的可积系统[1-2]. 为了寻求非线性系统的对称和守恒律, Ibragimov 提出了伴随方程法[3-5],该方法可以用来寻求任意微分方程的李对称, Lie-B¨acklund 对称或留数对称有关的守恒律, 并得到了广泛应用[6-11]. 本文首先运用李群分析法求得mBKK 方程组李对称, 并证明该方程组具有非线性自伴随性, 最后结合方程组的非线性自伴随性及求得的李对称, 运用伴随方程法构造mBKK 方程组的守恒律.

对于(2+1) 维Broer-Kaup-Kupershmidt 方程组

当y=x时, 可将其化为(1+1) 维BKK 方程组

将上面的方程组改写为mBKK 方程组

方程组(1) 是描述非线性和色散长重力波在浅海水平方向均匀深度的模型, 它被广泛应用于等离子体物理、液体力学、非线性光学等各个领域. 文献[12] 用Hirota 方法把该方程化为双线性方程, 然后通过摄动法寻找其精确解; 文献[13] 用李群方法得到该方程的对称和相似约化, 并借助辅助函数法求解约化方程, 从而得到其部分精确解; 文献[14] 用修正CK 直接法得到方程的对称、约化, 再通过求解约化方程得到该方程组的一些精确解. 经查找知, 相关文献主要针对(2+1) 维Broer-Kaup-Kupershmidt 方程组进行研究, 而对mBKK 方程研究较少. 文献[15] 用Painlev´e分析法, 证明……