徐碧云, 姜坤, 曹炜

(宁波大学数学与统计学院, 浙江 宁波 315211)

1 引言

Markoff-Hurwitz 类型的方程是指如下形式的丢番图方程

其中n,b均为正整数. 由于它与丢番图逼近理论的紧密联系, 文献[1] 首先研究了它在n=3,b=3 情形时的解数公式; 文献[2] 考察了它的一般形式, 这是此类方程命名的由来.

设Fq是一个特征为p且含有q个元素的有限域, 其中q=pr,r ≥1,p是一个奇素数, F∗q= Fq{0}. 对于多项式f ∈Fq[x1,x2,··· ,xn], 用Nq(f) 表示方程f(x1,x2,··· ,xn)=0 在Fq中的解数. 寻找Nq(f) 的具体表达式是有限域中的一个重要课题. 一般来说, 给出Nq(f) 的具体表达式是比较困难的, 所以需要限制一些特殊条件(参见文献[3-10]).

文献[3] 研究了有限域Fq上的Markoff-Hurwitz 类型的方程

其中a1,··· ,an,b ∈F∗q, 文献[3] 给出了当n=3 和n=4 时在某些特殊情况下的具体解数公式, 并提出了寻找此类方程解数公式的问题.

文献[4] 推广了文献[3] 的上述结果, 得到了n ≥5 时, 其在某些特殊情况下的具体解数公式; 文献[5] 研究了如下广义的Markoff-Hurwitz 类型方程

其中ai,b ∈F∗q,mi(i=1,2,··· ,n) 为正整数, 利用指数和的工具, 在文献[6] 研究成果的基础上给出了它在某些限制条件下的解数公式.

文献[7] 研究了广义的Markoff-Hurwitz 类型方程

其中ai,b ∈F∗q,mi,ki,i= 1,2,··· ,n,n ≥2 为正整数, 利用剩余类环Z/(q −1)Z 上增广次数矩阵的Smith 标准型给出了其在特殊条件下的解数公式, 推广并简化了文献[5]的相关结果.

文献[9] 考虑了更为广义的Markoff-Hurwitz 类型方程

本文将给出定理1.1 的另一种组合证明方法, 并进一步研究如下广义Markoff-Hurwitz 类型方程的解数问题:

其中ai,b ∈F∗q,λ,mi,kj,i=1,2,··· ,n+s,j=1,2,··· ,n, 且n ≥2,s ≥0 均为整数.

本文的结构安排如下: 在第二节, 介绍一些预备知识; 在第三节, 给出定理1.1 的另一种组合证明; 方……