梁星亮 赵宪钟 任苗苗

(1. 西北大学数学学院, 陕西 西安 710127; 2. 陕西科技大学文理学院, 陕西 西安 710021)

1 引言

半群的分类问题是半群理论中的核心问题之一, 其中半群的S- 系理论是研究半群同调分类的一种有效方法. 20 世纪60 年代, 很多学者致力于幺半群同调分类问题的研究, 利用幺半群上系范畴中对象的性质刻画幺半群, 已有许多重要研究成果面世[1-10].幺半群上S- 系的正则性作为半群的von Neumann 正则性的一种重要推广, 从20 世纪80 年代开始备受学者们的关注. 1985 年, 文献[11] 首次在幺半群的S- 系范畴中引入了正则系的概念, 并利用S- 系的正则性给出了幺半群是群以及可消幺半群的刻画; 1995 年, 文献[12] 给出了所有正则左S- 系是平坦的幺半群的特征刻画; 2004 年,文献[13] 在幺半群的S- 系范畴中引入了正则系的一个推广, 称之为C(P) 系, 研究了与C(P)系有关的同调分类问题,给出了所有S-系具有C(P)性质,以及S-系的C(P)性质与其它平坦性质一致的幺半群的刻画; 2018 年, 文献[14] 在此基础上进一步做了推广, 引入了C(P′) 系, 并给出了幺半群是C(P′) 幺半群以及正则幺半群的特征刻画. 上述研究的主要对象是幺半群, 所考虑的范畴是幺半群上的系范畴. 众所周知, 更多半群并无幺元, 且许多幺半群的经典刻画对于不含幺元的半群未必成立. 基于此, 本文将有局部单位半群理论与幺半群理论的同调分类方法有机结合, 在有局部单位半群上的酉系范畴中引入正则对象, 通过研究正则对象的性质来刻画有局部单位半……