刘合国, 高睿, 徐行忠, 廖军

(湖北大学数学与统计学学院, 湖北 武汉 430062)

1 引言

本文涉及的矩阵不等式见文献[1-2], 算术- 几何平均不等式(也称AM-GM 不等式) 见文献[3], 涉及的矩阵论知识见文献[4].

1893 年, Hadamard 证明了下面的定理, 它应该是行列式不等式里最有名的结果之一.

Hadamard 不等式设H=(aij)n×n是复数域上的n阶矩阵, 则

中“=” 成立当且仅当H是对角矩阵.

明显的, 上述不等式等价于下面的定理:

设A=(aij)n×n是正定Hermite 矩阵, 则中“=” 成立当且仅当A是对角矩阵.

人们常常把这个关于正定矩阵的不等式称为Hadamard 不等式, 例如文献[1-2]. 随后, Sz´asz 推广了Hadamard 不等式, 得到了一个加细的不等式, 见文献[1-2,4].

Sz´asz 不等式设A= (aij)n×n是非对角的正定Hermite 矩阵,Pk表示A的所有k级主子式的乘积(1 ≤k≤n), 则

显然, Sz´asz 不等式里“Pn

本文包括两方面的内容, 它们在形式上看是相互独立的, 但在本质上是一脉相承的.其一, 给出Sz´asz 不等式的加法形式; 其二, 证明Hadamard 不等式等价于AM-GM 不等式. 贯穿全文的基本思想是“平均”. 有关Sz´asz 不等式的研究请参见文献[6-11], 关于Hadamard 不等式和平均值不等式可参见文献[12-15].

2 Sz´asz 不等式的加法形式

这个定理的证明依赖于两个已有的事实.

引理2.1把A= (aij)n×n的所有k级主子式之和记为Qk, 1 ≤k≤n, 则A的特征多项式

下面用微积分的技术给出该引理的一个简洁证明.

证明对n进行归纳. 当n= 1,2 时, 结论是易见的. 归纳地假设n −1 时结论成立, 注意到ΔA(λ) 的导数

的展开式的λn−k−1的系数里出现n −k次, 于是

令λ=0, 可得C=(−1)nQn, 因此

引理得证.

引理2.2(Newton-Maclaurin 不等式) 设λ1,λ2,··· ,λn是n个正数,σk是λ1,λ2,··· ,λn上的第k次初等对称函数, 1 ≤k≤n, 则有

并且上式里任意一个等号成立当且仅当……