王成伟 张卷美

1. 北京服装学院，北京市 100029

2. 北京电子科技学院，北京市 100070

三次Ball 曲线[1－2]于1974 年被A.A.Ball 定义以来，有许多学者深入地研究了Ball 曲线。Said[3]推广了Ball 曲线，形成了Said-Ball 曲线。Ball 曲线的许多性质跟Bézier 曲线是比较类似的[4－5]，但是Ball 曲线的计算效率要比Bézier 曲线高。 若控制多边形固定不变，Ball 曲线和Bézier 曲线都有形状不能改变的缺陷，因此许多学者就提出了在Ball 扩展曲线中嵌入形状参数的方法[6－11]。 文献[6－9] 通过嵌入一个形状参数对三次Ball 曲线进行了扩展， 文献[8－10]分别扩展了四次和五次Said-Ball 曲线，它们的扩展曲线中只有一个形状参数，因此用一个形状参数来改变曲线的形状是有局限性的。 文献[11－12]分别讨论了含有两个形状参数五次Said-Bal和拟六次Said-Ball 曲线的扩展问题。

本文讨论了拟五次Said-Ball 曲线，在基函数构造时，增加了两个形状参数λ、μ，基函数具有对称性。 本文讨论的拟五次Said-Ball 曲线，与文献[11]的构造方法不同，文献[11]中的基函数有5 个，其实就是四次Said-Ball 曲线的扩展；而本文中的基函数有6 个，也就是五次Said-Ball 曲线的扩展。 五次Said-Ball 曲线和文献[10]中的第2 种扩展曲线都是本文拟五次Said-Ball 曲线的特例，具有一定的广泛性。 还给出两条相邻的拟五次Said-Ball 曲线段拼接的条件，实例显示本文所构造的曲线是有效的。

1 拟五次Said-Ball 曲线的构造

1.1 构造基函数以及其性质

定义1 令

其中，t∈[0，1]、λ∈[－0.5，0.75]、μ∈[0，1]。 则(1)式称为带双参数λ和μ的拟五次Said-Ball 的基函数。

λ＝0.75、μ＝1 时基函数所绘的图形见图1。

图1 拟五次Said-Ball 基函数所绘制的图形

拟五次Said-Ball 的基函数拥有性质如下:

性质1 非负性及权性

性质2 对称性

对于任意的t∈[0，1]， 总有bi(t)＝b5－i(1－ t)，i＝0，1，2，3，4，5。……