张志刚

[摘   要]文章对一道三角最值问题进行多视角讨论，以引导学生深刻剖析题设条件，敏锐捕捉解题灵感，触发思维萌芽，多方位搭建解题思路，从而培育学生独立性、批判性、发散性等创造性思维品质.

[关键词]高考;模拟题;解法探索

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）17-0034-02

波利亚说：“掌握数学就意味着善于解题.”罗增儒教授说：“解题是数学工作者数学活动的基本形式和主要内容，解题是数学工作者的一个存在目的，解题是数学工作者的一个兴奋中心.”解题的重要性不言而喻.下面笔者通过对一道三角最值问题的多视角讨论，引导学生深刻剖析题设条件，敏锐捕捉解题灵感，触发思维萌芽，多方位搭建解题思路，从而培育学生独立性、批判性、发散性等创造性思维品质，启发学生学会解题、善于解题，积累实战经验.

一、试题呈现

2019年河南安阳市一模试题：

[9sin2α+1cos2α]的最小值是（）.

A. 18 B. 16 C. 8 D. 6

二、解法探索

本题设计简洁清新，构思别具匠心，难度适中，解题角度宽广，富含数学思想，凝聚命题专家的智慧.解答时可充分挖掘问题与隐含条件的关系，既可转化为一般函数最值的常规解法，又可充分利用三角函数的性质（如有界性），灵活多变，耐人寻味.

视角1：常数代换

解法1：“1”的代换.挖掘隐含条件“[sin2α+cos2α=1]”，进行“1”的代换，再用基本不等式求得最值.

[9sin2α+1cos2α=9sin2α+1cos2αsin2α+cos2α][=9cos2αsin2α+sin2αcos2α+10 ][≥29cos2αsin2α?sin2αcos2α+10=16]，当[9cos2αsin2α=sin2αcos2α]即[α=±π3+kπk∈Z]时取等号.故选B.

解法2：三角函数的定义法.设[f（α）=9sin2α+1cos2α]，易求得[f（α）]的定义域是[αα≠kπ2， k∈Z].设[α]的终边与单位圆的交点是[P（x， y）（xy≠0）]，则[x2+y2=1].

[f（α）=9sin2α+1cos2α=9y2+1x2 ][=9y2+1x2x2+y2 ][=9x2y2+y2x2+10≥29x2y2 · y2x2+10=16]，当且仅当[9x2y2=y2x2]即[x=±12]，[y=±32]时取等号.

点评：追本溯源……