孙 欣

苏联教育家斯托利亚尔说：“数学教学说到底是数学思维的教学。”小学数学教学其实就是教师对数学思维的解码，对儿童内心言语符号的解读。在教学中，教师应注意为儿童播下数学思考的种子，培育其数学学习能力，培植其数学思维品质。

一、儿童数学思维点状样态检视

其一，概念认知碎片化——局部零散，整体缺位。一些儿童对数学概念的认知呈现出零散化、细节化、局部化的特点，缺少整体考量。如学习了除法，他们会认为所有题目都能用除法解决。碎片化的认知导致儿童不能从整体上把握每个知识点的价值与应用范围。

其二，数学理解片面化——感知表象，本质缺失。有些儿童常依据事物的表象做判断，而忽视对事物本质的把握。如他们会认为“13+25+75=25+75+13”只运用了加法交换律，这是因为他们只关注加法结合律中有括号的表象，而不理解其改变运算顺序的本质。过于追求表面现象会使儿童产生思维惰性，对数学的理解不全面、不深入。

其四，语言表达半逻辑——条理杂乱，逻辑不整。儿童的数学思考往往没有逻辑链，对知识的前因后果缺乏真正的理解。如口算“20×3”，常说“2 个十乘3 得60”，准确的表述应为“2个十乘3 得6 个十，所以是60”。语言反映思维，儿童对算理与算法间的关系梳理不清，导致其表达不清晰、论理不充分，存在着模糊、停顿、断续的逻辑倾向。

二、基于关联教学解码儿童数学系统性思维的培养

（一）关联教学的内涵诠释

关联指互相贯连，起连接作用且相互联系。关联教学是指教学具有整体视野，顺应儿童的认知规律，从关联的视角看待数学知识、数学方法和数学思想，发现知识之间、教学要素之间存在的相关性和联系性，从而处理数学信息，建构新的表征，解决数学问题。

（二）数学系统性思维的内涵诠释

数学系统性思维是指从数学系统出发，根据部分和部分、整体和部分、结构和功能等要素之间的联系与相互作用，更加精确、综合、深入地认识数学、理解数学。在教学中培养儿童的数学系统性思维，有助于他们克服数学思维的点状现象。

（三）基于关联教学培养儿童数学系统性思维的目标

其一，让儿童对数学的认知从“散点”走向“类型”。依据教材系统、整体地规划教学行为，在获取知识和外显思维的过程中，帮助儿童把散点知识筑成具有生长力量的类结构。其二，让儿童习得的数学方法从“割裂”走向“聚合”。用联系的视角聚合不同问题、不同方法的本质，找准被分割部分的内在关联，求同存异，相互融通，从而实现思想方法的类迁移。其三，让儿童对数学的感悟从“断续”走向“连续”。关联教学有助于儿童建构清晰、有序的思考路径，形成解决问题的程序、步骤，推动其思维逐步走向连贯。其四，让数学理解从“局部”走向“全局”。站在单元、内容领域或学段的视角，帮助儿童深刻认识和理解数学课程，发现数学内部及其与其他学科和现实生活的联系。

三、基于关联教学提升儿童数学系统性思维的策略

（一）知识类关联，为系统性思维提供学科内部结构支撑

1.同域知识串联——从纷杂走向有序。

同域知识串联是指把点状的同域知识串成线状存在。同领域内容看似纷杂，但往往具有多重内在联系，教师要注意纵向沟通，把握知识生长序列，促进同域各系统因子协同发展，让儿童的知识体系自然生长。如“多边形的面积”相关内容如表1所示。看似各不相同的公式却具有本质关联性。若改变顺序，以梯形面积计算公式为“根”，可生长如下：上底缩小为0（b=0），就变成三角形；上下底相等（a=b），就变成平行四边形（长方形或正方形）。几种图形的面积计算公式均可表示为S=（a＋b）×h÷2。（如图1）教学要梳理与打通纷乱的知识背后的内在联系，引导学生感受其本质的统一性。

表1 “多边形的面积”相关内容

（图1）

2.异域知识并联——从单向走向多维。

异域知识并联是指把不同领域的知识并联在一起。异域内容看似相互独立，但转换视角，将其内在特征横向融通，同样可在多维关联中促进儿童的数学理解达到不一样的层次与境界。如苏教版四下《乘法交换律》一课的例题：四年级有6 个班，五年级有4 个班，每个班领24根跳绳，四、五年级一共要领多少根跳绳？通过两种方法得到等式6×24+4×24=（6+4）×24 后，教师引导学生经历形成猜想、举例验证、得出结论的不完全归纳过程。然后启发学生借助面积计算方法解释规律，在数域与形域之间建立关联（如图2）。获得数学结论的路径不止一条，关联异域知识，引导儿童从多元视角看待数学体系，有助于他们从多个维度建构数学模型，从而领略到数学系统的别样风景。

（图2）

3.类群知识网联——从一些走向一类。

关联教学常常实现从点状到线性再到网状的升华。观照儿童的认知维度，对知识进行类同关系比较，把一些知识联结成一类知识，有助于学生充分挖掘数学结构群的育人价值。教学苏教版五下《异分母分数加减法》一课，教师常局限于引导学生借助数形结合理解算理算法，而忽略沟通不同类型的数加减运算的内在联系。其实，教师可引导学生先整体感悟分数加减法的类型（同分母、异分母——包括能否化成有限小数的），再按类研究，类比迁移，最后沟通整数、小数、分数加减法计算的本质，突出相同计数单位可直接相加减的算理。把各分支纳入整体认知结构，形成一类知识关联，有利于儿童完善分类的思维品质。

（二）方法类关联，为系统性思维提供认知能力结构支撑

1.回顾反思，提供研究步骤的程序支撑。

习得方法比获得知识更有价值。教师要注意引导儿童既经历观察、操作、实验、猜测、验证、推理、归纳等数学化过程，也适时回顾反思，提炼总结，提升研究能力。如教学苏教版五下《2和5的倍数的特征》一课，若学生的学习仅仅停留在记忆特征层面，就遮蔽了数学学科的育人价值。教师可先引导学生探究2 的倍数的特征，在百数表上圈出2 的倍数，经历形成猜想、举例验证、得出结论的不完全归纳过程。然后追问：刚才是怎样研究的？从而总结出“小范围形成猜想—大范围举例验证—得出结论”这一研究步骤，学生依据此方法可独立探究5 的倍数的特征。面对新问题，儿童会无意识地对已有经验进行联结加工。引导儿童对学习过程与方法进行回顾、总结、提炼，有助于他们建构稳固的思考模型。

2.主动迁移，提供思维路径的拓展支撑。

在数学学习中，儿童如能循着合适的思考路径进行探究，将会达到事半功倍的效果。教师在教学中设计教与学的结构流程，可促进儿童整体认知和深度学习。如教学苏教版三上《整十、整百数乘一位数口算》一课，教师引导学生借助表象操作理解“2 个十乘3 等于6 个十”，启发他们思考：以前学习2 个一乘3 得6 个一，今天学习2 个十乘3 得6 个十，继续往下想，你会想到什么？突出计算原理的内在关联，让学生在想象推理中提炼出一类算式的共同算法，实现主动迁移。教师教学时立足方法系统，把教与用有机融合，为儿童提供思维路径，推动他们的认识从特殊提升到一般层面，将有助于实现“不教之教”的愿景。

3.求同存异，提供思考方向的变化支撑。

儿童的数学学习具有生长性，不仅体现在知识累加上，更体现在思维经验的丰富、思维方式的优化、思维能力的发展、思维品质的形成上。教师注意引导学生在关联中寻找想法共通处，将有助于他们明确思考方向。如教学苏教版六上《表面涂色的正方体》，课始，教师出示将每条棱100 等分的表面涂色的正方体，激发学生想象：若沿等分线全部切开，得到的每个小正方体的涂色情况是怎样的？学生觉得困难。教师进而追问：可以怎么来研究？学生想到从棱2等分、3等分、4等分……开始研究。教师继续启发学生思考：这些想法有什么共同之处？（减少份数，便于研究）进而揭示：天下大事，必做于易，“从简单想起”是数学研究常用的思维方式。教师要注意把儿童不完善的经验与体验升华为科学的思维方式，为其后续研究复杂的问题提供思考方向，进而形成自觉、主动的研究心态，建构新的思维模式。

（三）思想类关联，为系统性思维提供动态结构支撑

1.鼓励质疑问难，让儿童心中有问题。

数学学习是获取知识、形成技能和建构思想方法的思维活动。教师教学时应注意以问题为纽带，鼓励儿童质疑问难、发表想法，促进他们在思考、感悟、内化过程中形成思想关联。如教学苏教版四下《解决问题的策略》一课，教学长方形的长增加引起面积变化的情况之后，教师启发学生思考：由长增加会带来面积变化，你能联想到什么？（长减少、宽增加、宽减少等情况亦能带来面积变化）在学生画图解决每种情况后，教师引导学生整体观察并比较相同点，从而发现：只有长变化时，宽没有变，都是先求宽；只有宽变化时，长没有变，都是先求长。使学生在变中找不变，体悟“以不变应万变”的思想。教师教学时应注意避免“一问到底”，而应鼓励儿童提出问题，让儿童心里有想法，并在比较、思辨中激活儿童的自我再生潜质。

2.积极联想想象，让儿童脑中有意识。

数学知识体系的明线和数学思想体系的暗线贯穿于数学学习全过程。教师要注意引导儿童充分展开联想，感受到看不见的暗线，触摸到数学系统的灵魂。苏教版五下“解决问题的策略”单元的一道习题如图3 所示。学生可以生搬硬套梯形的面积计算公式列出算式——（15+6）×10÷2，却难以阐述这道题与梯形面积计算公式的直接关系。教师可以适时启发学生思考：梯形的面积计算公式是怎么推导出来的？让学生想象“复制”一个完全相同的铅笔架（如图4），其中的奥秘便渐渐浮现出来了。如此，到六年级下学期求如下图5 所示的图形的体积时，学生脑中储存的转化思想便可以帮助他们通过联想复制成如下图6 所示的图形来解决问题。教学不仅要关注问题解决，还要注意渗透、提炼数学思想。如此，儿童的思维链才不会断裂，联想和想象才能与数学思想无缝对接，从而引领儿童的系统性思维连续生长。

（图3）

（图5）

（图6）

3.善于变式变通，让学习更高效。

学习方式不同，则学习效果不同。教学时，教师善于变通，注重灵活关联与综合应用，能让儿童形成新的思维方式，从学会走向会学。苏教版四上“解决问题的策略”单元的一道习题如图7 所示，教师教学时可以引导学生观察，使他们发现：题（1）中箱数和装箱时间在变，商始终不变；题（2）中每箱个数和箱数在变，积始终不变。提炼出两题的本质都是先求不变量，体现了渗透函数思想的教学考量。教师在教学中注意启发儿童进行变式学习，引导他们变通关联，有助于他们提升数学学习的质量。

数学是儿童生命成长的载体。教师眼里应该有完整的数学、动态的数学。基于关联的视角，把整体化、结构化、序列化、网络化的数学清晰、有序地呈现给儿童，将有助于他们学习的数量从单一走向多元，学习的质量从扁平走向丰满，从而顺利完成知识、方法、思想的体悟与建构过程，发展系统性思维品质，从根本上完善其数学人生。

（图7）