白瑞霞

（南京工业大学浦江学院，江苏南京 211134）

0 引言

中值定理在数学分析起着重要的作用,而导数本质上只反映函数在一点的局部特征，如果我们希望了解一个函数的整体特性，我们就必须在局部与整体之间建立某种联系，而建立此联系的桥梁正是作为核心的中值定理,同时也是探究函数在某个区间性质的强有力的工具。微分中值定理不仅在理论上很重要，而且在我们日常生活中的应用也很广泛。在这篇短文中，我们试图对中值定理的应用做一个较为系统的阐述和总结，希望能够抛砖引玉，对中值定理的研究和教学起到一定的参考作用。

1 微分中值定理

1.1微分中值定理的简述

我们知道，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理。它们之间有着密切的联系，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它们之间的具体关系我们可以用下面的例题来将它们联系起来。

例1.1.1设f(x)，g(x)，

ϕ

(x)在[a,b]内可导，试证：存在ζ∈（a,b）使得

F

= 则Cauchy中值定理就变成Lagrange定理。从而Cauchy中值定理可视为Lagrange定理在表达形式上的推广。

1.2 微分中值定理的推广

前面我们已经讨论了中值定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导。那么如果我们把定理中的闭区间推广到无限区间，再把开区间推广到无限区间的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理或结论呢？……