刘刚 王利岩

[基金项目]沈阳航空航天大学2021年校教改研究项目（JG2020125）;沈阳航空航天大学2021年理学院教改研究项目（JG202004A）

摘 要 “洛必达法则”是高等数学非常重要的内容之一，经过课堂的基本讲解，留给学生的是抽象神秘的不定式形象和无比易行而又刻板教条的洛必达法则。随之注入以工程实际的丰富内涵，抽丝剥茧般地给出不定式与平衡点的对应关系，揭掉了罩在不定式头上的神秘面纱，使不定式变得丰满鲜活起来，从而有效地点燃学生对数学学习的兴趣之火，也能够激发学生将数学联系实际的强烈欲望，对于练好学生的数学基本功，提高分析问题和解决问题的能力和创新能力都有着极大的意义。

关键词 不定式;洛必达法则;平衡点;斜率不定。

中图分类号 O13 文献标志码：A

一、引言

高等数学是高校工科学生一门重要的公共基础课，是学习后续课程必须具备的数学基础知识，更是走上社会以后配陪伴工程技术人员走过一生的“终生伴侣”。善于用数学符号描述复杂的工程技术问题，这实在是工程技术人员必须具备的厚重内秀和不可替代的强大能力[1]。所以要求高等数学的课堂教学不仅要交待清楚基本的定理定义，而且要引领学生走出抽象的定理定义的大门，学会把定理定义工程化和实际问题数学化，深入浅出，如此一定能强化学生的分析问题、解决问题和创新能力。

咋看，高等數学从始至终都是一堆符号的集合，给人以抽象、玄虚、难以理解的印象，其实这只是它的表征，实际上数学是对具有相同共性的一类实际问题的抽象，因此善于还原抽象背后的问题原型，是引领学生走出数学抽象大门的唯一途径。

很多从事工程实践的人，之所以寸步难行，就是不善于透过复杂的工程现象抽象出实际问题的本质内核。究其根本原因，在他们的脑海里，从来都是数学是数学，实践是实践，不善于把两者结合起来。

造成上述状态的原因是多方面的，但作为高等数学课堂教学，首先应该思考课堂教学法的改革。对于大纲要求的基本内容要深入浅出，言简意赅。定理定义的简要证明是需要的是一种能让学生的严密逻辑思维能力和数学抽象能力得以迅速增长的短平快的教学模式[2]。

繁琐的定理证明，非但不能激活学生的学习兴趣，反倒成了学生学习活力的凝固剂，整个的证明过程，伴随的多是课堂上的学生一片睡。

本文将以洛必达法则为例，探讨高等数学课堂因材施教的教学方法及其创新。

二、洛必达法则的基本讲解

所谓基本讲解，就是满足教学大纲要求，面向全体学生的讲解。

三、基本讲解后留下的困惑

教材中采用柯西中值定理对洛必达法则给出了证明，但仍然显得非常数学，式（4）那样的书写过程意义是什么？[4] 不定式的不定又具有哪些内涵？ 总之，多年的教学经验，根据学生课后答疑提出的问题，感觉到学生听过上述的基本讲解之后，似如囫囵吞枣，又似雾里看花。

四、抽丝剥茧——释惑

释惑，就是要抽丝剥茧，剥去迷雾，把不定式的内核展现给学生。

1、不定式与系统平衡点

式（1）中的仅仅是个变量的符号，可代之以。另外，应该是两个相关的变量，否则没有实际意义，不妨设不定式

显然，与互为微积分的关系。如果代表系统的广义位移（包括机械位移、受控系统的温度、压力、流量等等），则表明的是系统的运动速度（包括机械运动速度、受控系统的温度变化率、压力变化率、流量变化率等等）[5]。不定式（5）还表明，系统的速度和加速度皆为零。从运动学角度，此时的系统应该处于静止状态，称系统速度和加速度都等于零的点为平衡点。

到此，不定式（5）被赋予了实际内涵，因而不再干瘪无华。

应该指出，工程实际当中的问题严格地讲都是非线性的，不存在理想的线性关系，仅当忽略了一些非线性因素，不至于引起原则性错误的时候，才可以按照线性问题来处理。所以对式（7）中的不加线性约束。

2、平面上的运动规则

图1 的上半平面满足，速度为正，亦即速度在轴上投影指向轴的正向，即向右运动，如图1之A。下半平面，速度为负，亦即速度在轴上投影指向轴的负向，即向左运动，如图1之B。于是穿越轴的运动必定是垂直穿越，如图1之C、D。

3、平衡点蕴含的特性

如前所述，系统受到扰动而发生运动而偏离了平衡点，问题是当扰动撤出以后，系统还能回到平衡点吗？回答是可能回到平衡点，也可能会不到平衡点，这个问题留待后续的相关课程解决。

究竟怎样回到平衡点和怎样离开平衡点的问题可以获得解决。

由式（9）可知，是函数在平面上的曲线斜率，而

就是说曲线通过平衡点时的斜率不定[6]，

不定就是不确定，或者说有多个可能的斜率， 换言之，通过平衡点处的曲线有无穷多条，好似地球无穷多条磁力线聚于地球南北磁极一样。原来看似干瘪无华的不定式原来却有这么丰富的内涵，如图2所示。

五、结束语

经过上述对洛必达法则两个步骤的讲解和抽丝剥茧般的释惑，不定式不再干瘪无华，而是有着丰富的内涵。如此可以尽可能的展现给学生更宽的学术视野，培养学生逻辑思维的能力，有效地点燃学生对数学学习的兴趣之火，也能够激发学生将数学联系实际的强烈欲望。若能将深刻的数学思想深入浅出地传授给学生，同时加上学生技能的训练学习，学生的数学素质会得到显著得高，那么我们的教学就会收到事半功倍的成效。

参考文献

[1] 毕予华。从洛必达法则求极限教学探讨参与式教学法[J]。数学学习与研究2016，5：48

[2]袁建军， 欧增奇。 高等数学中用洛必达法则求极限需注意的问题[J]。 西南师范大学学报（自然科学版），2012，6：40-42

[3]同济大学数学系编，高等数学[M]（第7版）。北京：高等教育出版社，2014，132-136

[4] 张国铭。 改进的L'Hospital 法则的证明及其应用[J]。 高等数学研究， 2010，5：63-65

[5] 平艳茹，张汉林。 工科高等数学中洛必达法则的教学思考[J]。 高等数学研究， 2007，5：55-57

[6] 姬小龙，常方平。二阶线性微分方程通解在Riccati方程解下的积分表示[J]。益阳师专学报，2002，3：30-33