吴世玕

无论是数学分析还是高等数学，都介绍了复合函数极限运算法则及泰勒公式.复合函数极限运算法则一般陈述如下：

设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若，且 存 在δ0＞0，当x∈时，有g(x)≠u0，则A.［1−2]

法则中提出限制性条件：“存在δ0＞0，当x∈UO(x0,δ0)时，有g(x)≠u0”，为何要有这个限制性条件，文献［3−5]用具体实例说明，如果没有上述条件，法则的结论就有可能不成立，或者说，没有这个条件，法则就更不容易证明.但这些文献，并没有从理论上分析，为什么要在法则中提出这个限制性条件.

文献［2]中，提出用n次多项式pn(x)近似一般的复杂函数f(x)，类似于微分概念，要求误差为.紧接着又提出要求，= 0,1,2,…,n.从而推导出f(x)的n阶泰勒公式.初学者会有这样的疑惑：教材上提的要求有点太多，或者说，这两个要求是否矛盾.当然，教材上证明了它们不会产生矛盾，这两个要求是相容的.作为教师，要站在学生的角度，从探求的角度去发现结论，而不是先给出结论，再来证明结论.可以从第一个要求出发，去发现f(x)的n阶泰勒公式的系数，这样更贴近初学者的认识规律.

1 复合函数极限运算法则中限制性条件g(x)≠u0的理解

1.1 用极限定义解释函数极限运算法则中的限制性条件g(x)≠u0

若函数y=f(u)在u=u0点处无定义，而在讨论极限时，极限定义中要求f[g(x)]在x0点的某个去心邻域内有定义，因此，就要求在内，g(x)≠u0.

若函数y=f(u)在u=u0点处有定义，但f(u0)≠A.且要求结论

那么，何时可以去掉限制性条件“存在δ0＞0，当时，有g(x)≠u0”？由以上分析可知，若函数y=f(u)在u=u0点处有……