刘静

[摘  要] 椭圆中含有一些特殊的结论，合理使用可提高解题效率. 中点弦斜率定值结论和中心弦斜率定值结论是其中较为常用的两大结论. 挖掘模型特征，探究验证结论，强化应用是教学的重点. 文章对两大结论开展过程探究，结合考题进行应用拓展，提出相应的教学建议.

[关键词] 椭圆;斜率;定值;结论;中心弦;中点弦

与直线斜率相关的圆锥曲线问题在高考中十分常见，问题类型也十分众多，深入探索可以发现其中存在一些较为特殊的结论，如斜率之积为定值. 挖掘问题模型，总结模型特征，总结定值结论有助于简化解题过程，提高解题效率. 下面具体探究椭圆中的两个斜率之积为定值的结论.

中点弦斜率定值结论探究

中点弦斜率定值结论，顾名思义，与弦的中点密切相关. 已知椭圆中一条不过原点，不与x轴垂直的弦，以及弦的中点，连接原点与中点，该直线的斜率与弦的斜率之积为定值.

1. 模型呈现

AB为椭圆 + =1（a>b>0）上不过原点O的弦，取AB的中点为点P，连接OP，设直线OP和AB的斜率均存在，且分别为k 和k . 在该模型中AB为椭圆的中点弦，这是模型的基本特征，而所涉两条直线斜率均存在是后续探究的基础.

2. 结论探索

在该模型中主要探究斜率k 和k 之积是否为定值，可以采用设而不求、代点作差法来构建两直线的斜率之积，具体如下.

设点P（x ，y ），A（x ，y ），B（x ，y ），由于点A和B位于椭圆上，则满足椭圆方程，代入可得 + =1①， + =1②，用①式减去②式，可得b2（x +x ）（x -x ）+a2（y +y ）（y -y ）=0，整理可得x +x =2x ，y -y =2y ，所以 · =- ，即k ·k =- .

形成结论：若AB是椭圆 + =1（a>b>0）上不过原点的弦，点P是AB的中点，AB和OP的斜率分别为k 和k ，则k ·k =- .

3. 应用强化

例1：已知椭圆C的方程为 + =1，直线m与椭圆C的交点为A和B，已知AB的中点P坐标为（1，1），则直线m的方程为________.

解析：已知椭圆中的弦AB中点为P（1，1），求直线m的方程关键是求其斜率. 连接OP，分析可知满足中点弦斜率定值结论成立的条件，求出OP的斜率，直接套用结论推导直线m的斜率.

由点P坐标易得直线OP的斜率为k =1，根据中点弦斜率定值结论可知k ·k =- =- ，可解得k =- ，结合点P坐标可推知直线m的方程为x+2y-3=0.

中心弦斜率定值结论探究

椭圆中心弦斜率定值结论的显著特征为“中心弦”，即椭圆中的弦经过坐标的原点，同时原点对弦长有均分作用. 取椭圆上任意一点与弦两端点的连线构建两条直线，若两直线的斜率均存在，则两直线的斜率之积必为定值.

1. 模型呈现

如图1所示，已知AB为椭圆 + =1（a>b>0）上过原点的弦，点P是椭圆上任意一点（异于点A和B），连接PA和PB，设直线PA和PB的斜率均存在. 在该模型中AB为经过原点的弦，称之为“中心弦”，而点P是椭圆上异于点A和B的点，探究过程要把握“中心弦”这一特征.

2. 结论探索

对于上述模型中的斜率定值证明，同样可从设点入手，结合斜率定义来证明，具体如下.

设点P（x ，y ），A（x ，y ），分析可知点A和B关于原点对称，则点B坐标为（-x ，-y ），则直线PA的斜率可表示为k = ，直线PB的斜率可表示为k = ，所以k ·k = · = . 又知点P和A均在椭圆上，满足椭圆方程，所以 + =1①; + =1②，两式相减可得 =- ，所以k ·k =- .

拓展：对于该结论的证明还可以参照圆中“直径对直角”的特性来构建，将圆的结论类比到椭圆中，如图2所示，过圆x2+y2=r2上异于端点的任意一点与一条直径的两个端点的连线，显然有k ·k =-1.

通过坐标伸缩将椭圆圆化，令 =x′， =y′，则 + =1？圯（x′）2+（y′）2=1，而点P（x ，y ）？圯P′ ， ，点A（x ，y ）？圯A′ ， ，点B（-x ，-y ）？圯B′- ，- ，其中点P，A，B位于椭圆上，点P′，A′，B′位于新圆上. 然后将圆中k ·k =-1类比转化，可得k ·k = =-1？圯k ·k = = - .

形成结论：若AB是椭圆 + =1（a>b>0）上过原点的弦，点P是椭圆上任意一点，如果直线PA和PB的斜率均存在，则k ·k =- =e2-1.

3. 应用强化

例2：如图3所示，已知PQ为椭圆不过中心原点的弦，点A 和A 为长轴的两个端点，设A P和QA 的交点为M，PA 和A Q的交点为N，试分析MN与A A 的位置关系.

解析：已知点A 和A 为长轴的两个端点，可视为是椭圆的中心弦，已知点P和Q分别位于椭圆上，则满足中心弦斜率定值成立的条件.

设点M（x ，y ），N（x ，y ），由对应结论可得k ·k =- ，即kMA1·kNA2=- ，结合斜率公式可得 · =- ①;k ·k =- ，即kMA2·kNA1=- ，结合斜率公式可得 · =- ②. 联合①②式可得（x +a）（x -a）=（x +a）（x -a），所以a（x -x ）=a（x -x ），則x =x ，可证直线MN垂直于x轴，即MN⊥A A .

斜率定值结论的多解拓展

上述结合模型深入探索了椭圆中中点弦和中心弦的相关斜率最值结论. 把握模型特征，论证斜率存在性是结论使用的关键. 具体解题时可分如下三步进行突破：第一步，结合题意理解图像，关注图像中的中点弦或中心弦;第二步，结合结论所涉直线，论证直线斜率是否存在;第三步，引用对应斜率结论进行条件推导，求解答案. 实际上，变换椭圆模型的解析视角，中心弦或中点弦的结论可互通互用，可实现问题的多解. 下面以一道经典考题为例进行解法探究.

例3：平面直角坐标系xOy中，已知点M和N均为椭圆 + =1的两个顶点，直线PA经过坐标原点，与椭圆相交于点P和A（点P位于第一象限），过点P作x轴的垂线，设垂足为点C，连接AC并延长，与椭圆的交点设为点B，设直线PA的斜率为k，对于任意的k>0，证明：PA⊥PB.

分析：求证PA⊥PB，可采用一般的点差法，也可直接引用椭圆斜率定值结论. 若将PA视为是椭圆的中心弦，则k ·k =- ;若取AB的中点N，可构造中点弦AB，k ·k =- .

解：基于上述分析，可从中心弦和中点弦两个几何特征入手，故有如下两种解法.

方法一：把握AP的中心弦特征

由题意可设点P（x ，y ），A（-x ，-y ），B（x ，y ），则C（x ，0），结合点坐标可得k = ，k =k = = . 由中心弦斜率最值结论可得k ·k =- =- ，用 替换k ，则k ·k = ·k =- ，整理可得k ·k =-1，所以PA⊥PB，得证.

方法二：把握AB的中点弦特征

设A（x ，y ），B（x ，y ），取AB的中点为N（x ，y ），连接ON，可推得点P（-x ，-y ），点C（-x ，0），则k = ，k = . 由中点弦斜率最值结论可得k ·k =- = - ，故k · =- ，整理可得 =- . 又知A，C，B三点共线，则 = = =k ，所以k ·k = · =- ×2k =-1. 又知ON∥PB，所以PA⊥PB，得证.

评析：上述在求证直线垂直时充分挖掘了图像的几何特征，分别从椭圆的中心弦和中点弦两个视角进行解题突破，充分利用对应特征的斜率最值结论进行过程解析. 同一考题中椭圆的两大斜率最值结论均得到了运用，问题的多解思路有着典例示范作用. 其中挖掘椭圆弦特征的方法技巧有一定的参考价值.

结论探索后的深度反思

1. 结论探究中把握模型特征

合理利用数学结论可有效提升解题效率，几何结论探究的关键是引导学生理解结论，把握模型特征. 上述探究了椭圆弦的两个斜率最值结论，其中“中点弦”和“中心弦”的位置关系和几何特征是探究的重点，也是结论构建的基础. 教学中要引导学生挖掘结论的知识本质，引导学生归纳总结结论的适用范围、使用思路和拓展方向. 同时，注重开展结论辨析，结合考题来强化应用，使学生掌握结论的使用方法.

2. 结论探究中发展学生思维

结论探究教学要注重过程引导，以发展学生的思维为教学重点，因此教学中要关注学生的思维活动，可采用活动设计的方式，按照“问题引入→探索发现→互動交流→提出猜想→验证结论”的环节开展结论探索. 探究教学中要关注以下几点：其一，以问题为引导，利用启发性的思维引导学生思考;其二，关注学生思维，问题提出要符合学生的认知;其三，留足思考空间，探究教学要兼顾独立思考与合作讨论. 结论教学要让学生经历探究过程，体验收获知识的喜悦.