戴厚祥 朱涛

【摘 要】空间形式最主要的表现就是“图形”，几何直观在数据的支撑下并不是虚无的，而是具体的。但实际教学中的种种误区使得真正的几何直观素养没有发展。本文利用项目化学习，同时基于信息化思维方式，解开小学数学教学中对几何直观的误解，突破几何直观学习中的重难点，全面有效地提升学生的数学核心素养与信息化思维能力。

【关键词】项目化学习;信息化思维;几何直观;教学策略

【中图分类号】G434 【文献标识码】A

【论文编号】1671-7384（2021）04-069-05

现象扫描：几何直观教学中的思维误区

生活中处处体现着几何直观的价值。当人们在打开“滴滴出行”自动设置最短路线时，这是几何直观;当你想给书房里添置书柜时，打开苹果手机里的“测距仪”，测量书柜的长、宽、高，绘制立柜图时，这也是几何直观;当茫茫大海中，失事的船员只需要发射坐标，海员利用GPS确定位置实施营救时，这同样也是几何直观。几何直观不但可以把复杂的社会问题变得简明、形象，为解决问题提供思路，还能准确直观地描述事物或者现象的内在规律。可实情恰恰相反，很多时候，学生即使已经学过，也不理解，更不会用。笔者以为，主要源于几何直观教学中的几大误区。

1.几何直观价值认知的片面化

日常教学中，教师将几何直观定位为“解题工具”。学生往往陷入画示意图、线段图等解题泥淖中，而无法体会几何直观的真正价值。同时，在涉及几何直观的课堂教学中，几何直观不受重视甚至被忽略，没有意识到几何直观更深远的价值。学会用图形思考、想象问题是研究数学的基本能力，但是几何直观不能局限于为了解决某个具体的数学题服务，应该着眼于理解数学。从对直观的解读中可知，随着学生的学习深入，某些研究对象是“看不见，摸不着”的，极度抽象。例如，人类很难想象“四维空间”，但是借助对“一维、二维、三维空间”的思考，就能够想象出“高维空间”的雏形，这才是几何直观真正价值的体现。

2.几何直观培养的单一化

笔者曾在某数学杂志上看到一篇相关论文，教师花费了大量篇幅介绍利用实物操作刺激感官的方式，借助丰富的实践材料来帮助学生理解长方体与长方形之间的关系，却没有涉及任何需要学生测量的地方。显然，大部分教师认为几何直观素养指向“形象思维”，而与“形象思维”相对的就是“抽象思维”。因此，教师往往在教学中引入大量的实物，让学生通过看、摸、拆、拼等操作感知，认为这是认识图形的好方法。诚然，这是认识图形的一种方式，但是基于几何直观下的“形象思维”并不只是简单地从抽象的概念到相应的显示模型，更应是一种抽象思考之后的“重构”。若能从长方形的长、宽和长方体的长、宽、高入手，更能体现几何直观本质。

厘清信息化思维与几何直观学习的价值与联系

1.几何直观的价值

（1）从定义看价值

从字义上有两处理解：一是几何，图形是数学研究的基本的、主要的研究对象;二是直观，直观的理解首先是最浅层次的“看得见、摸得着”，再到“看得见、摸不着”，最后是“看不见、摸不着”但是“想得到”。

（2）从课标看价值

《小学数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用[1]。”几何直观与数学的内容联系紧密。许多数学内容、概念，如度量、坐标、函数图像、解析几何、极坐标、向量等，既具“数的特性”，也有“形的特征”，显然，只有从这两个方面认识它们，才能有更加清晰的认识，更容易掌握它们的本质意义。

2.信息化思维的价值

（1）从特点看价值

信息化思维并不是指学生会使用某一电脑软件或掌握哪一门技术，而是指学生在解决问题中能够想到用信息技术的手段去思考、去决策的能力或思維方式。软件的知识是学不完的，如果眼光局限于知识性内容的学习，结果也只能是只见树木，不见森林。

又由于信息技术的非数学学科特点较多，我们这里研究的是与小学数学相关性的特点。小学阶段，学生处于“具体运算阶段”，而计算机处理数据、图像等信息更加准确、快捷;此外，信息技术本身具有的就是信息性，体现在日常生活中人们对信息的收集与获取、对信息的存储与传播等。因此，良好的信息技术能力能够提高学生的社会适应能力。

（2）从课标看价值

《中小学信息技术课程指导纲要（试行）》中指出：“中小学信息课程的任务是：培养学生对信息技术的兴趣和意识，让学生了解或掌握信息技术基本知识和技能，使学生具有获取信息、传输信息、处理信息、应用信息技术手段的能力，形成良好的文化素养，为他们适应信息社会的学习、工作和生活打下必要的基础[2]。”由此看来，学生掌握必要的信息技术也是时代发展的需要。

3.信息化思维与几何直观学习的联系

（1）信息技术是探究几何直观良好的辅助性工具

信息技术经常被用于解决某一“难以直观化难题”的工具，是几何直观的重要操作手段，以“绘制平面图”为例，学生手绘也可以，请问信息技术的优势在哪里？首先是精准的尺寸标注：能够等比例标注出实际的建筑大小，避免因人为绘图带来的误差。准确的数据背后，渗透了严谨的学习态度——“以事实为依据”。信息技术能够让图形“动”起来，再现“动”的过程和结果，如对称、旋转、翻折等，是培养几何直观的妙招。

（2）信息化思维是改变学习方式的关键

学生在操作计算机时，能够化被动学习为主动学习。如学生想要实现某一效果，不知道该按哪个键？……教师可以启发学生能够避开这个操作吗？而不是直接把结果告知学生。再如，学生在用计算机绘制校园花坛时，图形过于复杂，教师也是应建议学生换个角度思考，而不是直接出示结果图。学生解决了图形的问题，从而完成项目中的小目标，不仅推动了项目的前进，更能够激发“我要学”的求知欲。

策略建构

1.情境任务驱动几何直观化策略

（1）创设情境，激发画图动机

基于信息化思维的几何直观，是一种理性、科学的思维模式。但我们并不会在教学过程中直接给予学生相应的信息技术支持，要求大家据此绘图。这看似直接切入，节省了时间，实则将学生和信息化思维割裂开来。小学生信息能力的发展前提是需要具体问题的支持。因此首要途径应该是创设具体情境，这不但能激发他们主动收集信息的积极性，还能告诉他们，为什么我们要用信息手段来解决问题，切实为学生提供了具体经验的支持。

在“绘制平面图”一课中，笔者提供了如下情境：播放《哈利波特与混血王子》片段后，提问：“哈利通过什么发现了斯内普教授的踪迹？”哈利在斯内普转弯的前一秒用隐形斗篷躲了过去，说明这幅地图怎么样？（学生答绘制准确，图与现实没有差别）如果让你来主持绘制某一地点的平面图，你会怎样做来确保任务的成功？（学生答要保证这个平面图和现实实际情况是一样的，没有差错）

虽然学生没有明确提出“信息”这个词，但已经意识到要解决情境中的问题，需要借助一个准确的平面构图平台，而准确的平面图需要信息技术的支持，学生所提到的“建筑的具体大小、测量的结果”其实就是数据。“具体的资料”实际上就是“获取信息”的需要。在笔者设立情境后，发现学生接下来面对制作平面图之前收集信息的热情和专注度明显有所提升。反之不创设情境，学生不会意识到信息获取的作用。因此，即使课堂时间有限，我们也不能操之过急，只有让学生产生“获取信息”的需求，在接下来的环节中学生才能保持较高的积极性。

（2）真实任务，驱动几何直观的数据收集

在引入了情境之后，学生获取的动机已经调动起来。但这时候学生还不清楚具体的问题是什么？获取信息是为谁服务的？为了达到这个目标我们需要获取什么信息？不同类型的信息获取方式是否一样？给出“真实任务”能够帮助解决学生的困惑。

真实任务是延续之前情境而来的任务，和教师所创设情境有紧密关联。以笔者在“绘制平面图”一课中的尝试为例，笔者先以“美丽校园”为背景创设情境后，以“绘制母校平面图帮助施工”切入，让学生明确“小组合作绘制将军山小学平面图”的任务。此时，学生会给出非常多的答案，如建筑物、俯视图、道路名称、比例尺的选择、位置关系、绘图工具、测量工具等。这里面有些信息收集起来容易，有些很困难;有些能够通过互联网获取，有些不好获取。但没关系，教师应该鼓励学生尽可能全面地去思考、补充，全面客观地收集信息是信息化思维的重要环节。

2.信息化思维指导几何直观思维参与的策略

有足够全面客观的信息为绘制平面图提供了必要条件，可是如何分析处理大量信息？如何将有效信息应用到平面图绘制当中？如果教师能引导学生用信息化思维进行信息筛选和信息处理，它就能在學生对如何用信息化思维思考几何直观问题感到困难时提供脚手架，突破几何直观教学中的重点和难点。

（1）联系实际，推进学生利用信息化思维处理信息的能力

在绘制平面图的过程中，是否所有收集到的信息都能用得上？答案是否定的。根据课标对小学阶段平面图的要求，教参并没有对平面图的精确程度加以要求。对于小学生来说，完全还原对象是极为困难的。因此在真正用信息技术绘图之前，教师还需要引导学生思考并筛选出实际绘图中的关键信息，这样的信息可以是数据，也可以是图形等，这种对信息的分析和筛选过程是信息化思维的重要环节，即信息处理能力。

在教师引导下，学生经过思考、讨论，对大量信息进行了筛选，一部分学生将对任务没有帮助的信息筛选清除，另一部分学生则将绘图中无法实现的信息删除。最后大家分析得到了比较统一的意见，得出本次平面图中最关键且能够实现的信息。

（2）数学思想方法，发展复杂信息化思维处理信息的水平

当学生筛选出了和绘图有直接关联的信息后，是否就可以开始绘图了呢？显然是不能的。学生所筛选的信息是作品对象的必要信息，而平面图没有必要还原其实际大小。所以，学生下一步要考虑的是如何对这些信息进行处理，将其转换成用以准确还原平面图的信息。这一步学生需要利用到已有的数学中的“比例”“比例尺”的知识，是六年级下册第四单元的内容。笔者仍以“绘制平面图”为例。

师：如何准确地将教学楼还原到我们的平面图中去？需要先考虑什么因素？

生：要先确定平面图的比例尺。

生：根据测量的数据，我们把比例尺定为1∶2000。

师：复习一下，1∶2000这个比例尺表示的含义是什么？

生：图上距离1厘米，实际距离2000厘米，也就是20米。

师：计算一下，某同学测量学校一条边的实际长约是120米，在平面图上，应画几厘米？结果写在数学记录本上，我给2分钟时间。

学生计算。

生：把图上距离看成х，列出比例方程，х：12000=1：2000，解得，х=6，那么应该在图上画6厘米长的线段。

师：所以这位同学要画的平面图的大小是？

生：一条边的长是6厘米。

师：如果想画的大一点怎么办？

生：可以以6厘米为“单位1”，分别乘想要扩大的倍数就可以了。

可以看出，学生利用数学知识可以很快地确定绘制平面图的比例尺，图1中所表示图案的大小，为后面的几何直观思维打好数据的基础。学生有了“数”的基础，接下来将面临“形”的难题。从教师所给的将军山小学平面图中看，教学楼的形状是不规则的，呈倒转的字母“L”型。怎么处理这样的问题呢？

师：在绘制图形时大家遇到了什么困难？

生：教学楼从上面看是一个不规则的图形，不好画。

师：想想可以怎么解决？

生：转化为规则的图形。

生：分割成一小块一小块，每一块都是规则的就可以了。

师：请你上来分割一块给大家看看。

图1  学生用分割法对稍复杂图形进行转化

师：像这样，可以对图形进行适当处理，把复杂的问题简单化。请继续对其他图形进行操作。

（3）图示化表达，深化信息描述能力

数形结合是认识几何直观的重要数学方法，在信息处理的过程中得以发展。学生在完成对“数”与“形”的重点掌握后，即将面临“数形结合”的难点，而这也是几何直观素养形成所必须要求的一步。

实际教学中，在进行数据信息与图像信息的图示化表达时，学生会遇到困难。首先需要考虑的就是图像的摆放位置。这里的位置在图中无非就是每一个图形之间的距离和其所占的位置。图中包含了通过信息处理得到按比例缩小的建筑物大小与其余物体大小，且位置、形状基本准确。作为平面图来说，这是科学的、合理的，有助于接下来在计算机上进行绘图。

（4）信息化操作，深化信息应用能力

小组根据组内信息技术水平、绘图软件使用情况选择合适的信息工具，对手绘平面图加以信息化处理，得到较为精确的平面图，这个过程中教师并不给出绘图软件的选择。并且在实际操作过程中，学生提出某些疑问后，老师不直接告诉其操作按钮，而是启发其利用其他手段代替，这样做的好处是，锻炼学生在利用信息软件绘图时养成独立思考、独立解决问题的能力。

图2左边图是学生第一次电脑绘图后的结果，这样的结果显然是不完整的，教师此时要引导学生加以完善。从平面图的应用意义倒逼学生反思自己的作品缺陷在哪里，提高优化作品意识，发展信息应用能力。

3.信息化思维与几何直观思维评价策略

信息化思维在参与平面图设计与制作的过程中发展几何直观的思维。信息化思维不是“注重结果”“唯信息论”的思维，而是强调信息获取、处理、应用的全过程的思维，这也为我们的评价方式提供参考。教師对整个项目化学习的评价应该是多维度的，从两个学科加以评价，并且既要关注结果，更要关注形成性评价。

（1）信息化评价量表

评价不应带有教师的个人导向，例如，若教师提议绘制的平面图越精美，就额外加分，小组内就会做出相应调整。本节课的最初目标是为了建设母校，所以能够在平面图中把绿化、道路等信息标注出来，教师应给予适当加分。考虑到六年级学生的操作水平有限，即使没有准确复制，也不用倒扣分，教师要兼顾不同层次学生的信息水平。

（2）项目化学习的形成性评价

笔者发现，把小组分工合作纳入评价体系之前，课堂生态暴露出一些负面现象：人人争当组长无人愿意当组员、组内成员之间互相埋怨、分工不够具体等。教师应充分尊重学生的主体地位，因实际教学中，如果学生的学习以小组为单位，那小组合作能力是数学素养的重要组成部分，因此小组分工合作的情况应该纳入评价中。这样改变之后，小组合作明显变得和谐、高效多了。

克莱因提出：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上”。几何直观在小学学习的各个阶段都发挥着重要的作用，并对学生的后续学习有着深远的影响。而目前对于几何直观的研究还局限于数学学科，信息化思维在解决数形问题等方面深刻地影响着几何直观，是学生培养几何直观素养的好途径，不过往往需要通过项目化学习的方式，而这种学习方式比一般的数学学习要耗时长，复杂性强，综合要求高，那么是否还存在其他的整合方式呢？为此，笔者将继续研究下去。

注：本文系江苏省教育科学规划办“十三五”重点自筹课题“小学数学生态结构化教学表现性评价的实践研究”（课题编号：B-b/2020/02/75）阶段性研究成果

参考文献

中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准[S]. 北京师范大学出版社，2011.

中华人民共和国教育部. 中小学信息课程指导纲要（试行）[S]. 北京师范大学出版社，2000.

作者单位：江苏南京市江宁区教学研究室   江苏南京市将军山小学