董春芳，石德刚

(天津工业职业学院,天津 300400)

分部积分法是一元积分学中求积分时常用的重要方法。初学者在学习的过程中往往对如何选取u与v′以及在什么情形下需要运用分部积分法感到困惑，因此分部积分法是学生学习一元积分学时感到难以掌握的积分方法。本文对分部积分思想的理论依据进行解构和重构，总结出选取u与v′的原则和运用分部积分公式的模式。下面举例说明如何运用分部积分法求积分，以帮助初学者更好地学习和掌握分部积分法在积分运算中的运用。

一、分部积分公式

相应于两个函数乘积的微分法，可以推出另一种基本积分法——分部积分法，分部积分法主要用于求被积函数是两类不同函数的乘积且不具备凑微分法特征的积分。

设函数u(x)、v(x)具有连续导函数，由函数乘积导数、微分公式有(u·v)′=u′v+v′u、d(u·v)=vdu+udv，移项得u·v′=(u-v)′-v·u′、udv=d(u·v)-vdu(1).

对式(1)两端求不定积分，得不定积分的分部积分公式

对式(1)两端求从a到b的定积分，得定积分的分部积分公式

二、选取u与v′的原则与分部积分公式运用模式

用分部积分公式求一个函数的积分，需要将被积函数看作是两个函数u和v′的乘积，这就有个以什么函数为u，从而定出什么是v′的问题。因此正确地选择u与v′是运用分部积分法的关键所在。

(一)u经过求导，使u′变得简单，而v′和v的类型相同或复杂程度相当，例如，当被积函数为幂函数(代数函数)和三角函数或指数函数的乘积时，设幂函数(代数函数)为u(参见例1、例2)。

(二)u经过求导，使u′的类型与v的类型相同或相近(参见例5)，例如，当被积函数为幂函数(代数函数)和对数函数或反三角函数的乘积时，设对数函数或反三角函数为u(参见例3、例4)。……