张渊渊

【摘要】高等数学是工科院校最重要的基础课程之一.课堂教学中发现，学生对一些基本概念容易混淆，进而影响了后续内容的学习.本文通过反例对高等数学教材中函数可积与存在原函数这两个概念进行了探讨，揭示了二者之间的关系.

【关键词】高等数学；可积；原函数

【中图分类号】O13

引 言

高等数学是所有数学分支的基础，可以当作整个数学的树干.但是，大部分学生觉得此课程枯燥，难以理解，尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等数学中函数可积与存在原函数这两个概念进行探讨，希望给学生有益的启示.

一、函数可积与原函数存在没有必然的联系

本节首先给出与函数可积及原函数存在这两个概念相关的三个定理.

定理1 （Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，则y=f（x）在区间[a，b]上可积；

（Ⅱ）若有界函数y=f（x）在区间[a，b]上仅有有限个间断点，则y=f（x）在[a，b]

上可积；

（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调，则y=f（x）在区间[a，b]上可积.

定理2 若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，则y=f（x）在区间[a，b]上原函数存在.

定理3 （Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上含有第一类间断点，则y=f（x）在区间[a，b]上

不存在原函数；

（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上有无穷间断点，则y=f（x）在[a，b]

上不存在原函数.

二、通过反例揭示函数可积与存在原函数两者互不蕴含

本节将通过反例揭示函数可积与存在原函数这两个概念互不蕴含.

1.可积不一定存在原函数

2.存在原函数不一定可积

三、小 结

本文通过比较函数可积与存在原函数这两个概念，给出两个经典反例，揭示了二者互不蕴含的关系.希望通过本文的探讨，给学生有益的启示，提升学习高等数学的兴趣.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]汪林.数学分析中的问题和反例[M].北京：高等教育出版社，2015.

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