福建省永春第一中学 李金进

一、问题呈现

已知点A（2，1）是椭圆G：x2+4y2=8上的点，B，C是椭圆G上的两点，设k1，k2分别是直线AB，AC的斜率，且满足4k1·k2=1，试问：直线B，C是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，试说明理由。

分析：在圆锥曲线解答题中，常见这类以斜率的和或者斜率的积为背景探求直线过定点的问题。常规的处理方式为通过直线方程与曲线方程联立，分别求出B，C两点，再通过两点式得到直线BC的方程，经过整理确定直线所过的定点，从而形成如下解法。

解法一：设直线AB，AC的方程分别为y-1=k1（x-2），y-1=k2（x-2）。

设点B（x1，y1），C（x2，y2），

联立G：x2+4y2=8得（1+4k12）x2-（16k12-8k1）x+16k12-16k1-4=0，

所以直线BC恒过定点（0，0）。

相比解法一而言，解法二借助变换主元，也就是把常规变量x为变量的一元二次方程，转化为以斜率k为变量的一元二次方程，通过韦达定理使计算量变小，达到比较理想的效果。

二、解后反思

1.常规方法

由韦达定理确定出两个交点，再由两点式求出直线方程，然后经过对式子的整理确定定点，想法自然，但计算量较大，不易完成。

2.变换主元

变换视角，以斜率k为主要变量，结合斜率的和（或者斜率的积）的样式，借助韦达定理求定点，这样的想法学生容易接受，计算量较小，计算的效率较高。

三、应用拓展

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB。

解：（1）过程省略。

（2）设过点M的直线方程为y=k（x-2）（易知斜率存在），

代入椭圆方程，消去y得x2+2k2（x-2）2-2=0，

按斜率k降幂整理可得2（x-2）2k2+x2-2=0，

设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=0，

所以∠OMA=∠OMB。

题2 已知直线l过抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2。