赵尚乐 尹承利

在立体几何中，平面折叠问题是一类重要题型.这类问题将平面图形通过折叠变为空间图形，使得静态问题动态化，能很好地考查空间线、面间的位置关系及空间角、空间距离、空间几何体的表面积和体积的求法，对于形成和培养数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养有着重要的作用，因而是历年高考或各地模拟考试命题的重点.下面举例从6个不同视角对平面折叠型问题进行解析，旨在探索题型规律.

视角1 等边三角形中的折叠

例1 （2020届四川省德阳市二诊理12）△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别为AB、AC的中点，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，当四棱锥PBCFE的外接球的表面积最小时，四棱锥PBCFE的体积为（）.

A.534B.334

C.64D.364

解析 如图1，在等边△ABC中，将△AEF沿EF折起后四边形BCFE为等腰梯形，则其必有外接圆，设O为梯形BCFE的外接圆圆心，当O也为四棱锥PBCFE的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A作BC的垂线交BC于点M，交EF于点N，连接PM，PN，点O必在AM上.

因为E、F分别为AB、AC的中点，则必有AN=PN=MN，所以∠APM=90°，即△APM为直角三角形.

对于等腰梯形BCFE，如图2，因为△ABC是等边三角形，E、F、M分别为AB、AC、BC的中点，必有MB=MC=MF=ME，所以点M为等腰梯形BCFE的外接圆圆心，即点O与点M重合，如图3.

所以PO=OC=12BC=3，PA=AO2-PO2=32-3=6，所以四棱锥PBCFE的底面BCFE的高为PO·PAAM=3×63=2.

VPBCFE=13SBCFEh=13×34S△ABCh=13×34×12×23×3×2=364.

故选D.

点评 球与多面体的切、接问题是一类热点问题，本题通过等边三角形的折叠形成一个底面为梯形的四棱锥，通过分析、推理确定出四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥外接球球心的……