苏州外国语学校 倪 波

课本例题是各地专家智慧的结晶，大部分中考题都可以在教材中找到原型，即是由课本中的例题引申、变化而来的，对初中数学课堂教学和复习回归教材、重视基础起到了良好的导向作用。本文从一道中考题入手，寻找课本的题源，从课本例题出发，通过对例题进行变式、探究、推广，达到举一反三的效果。下面将一些想法与大家分享。

一、试题呈现

（2019•安顺）如图1，半径为3 的⊙A 经过原点O 和点C（0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上的一点，则tan ∠OBC 为（ ）。

图1

图2

二、问题分析

此中考题主要考查圆周角定理、锐角三角函数的定义，仔细分析可以看出，此题是由苏科版数学九上第121 页例3 改编而来的，源于课本，高于课本。

原题：如图2，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，△ABE 与△ACD 相似吗？为什么？

分析： 由AE 是⊙O 的直径， 可得∠ABE=90 °， 由AD是△ABC 的高， 可得∠ADC=90 °， 再由∠C= ∠E， 可得△ABE ∽△ADC。

点评：解决课本例题的关键是利用同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及相似三角形的判定方法。此题还可以做如下系列变式。

变式1：如图3，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，AB=2.5，AC=2，AE=3，求AD 的长。

分析：可连接BE，由例题可知△ABE ∽△ADC，

图3

变式2：如图4，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AE 是⊙O 的直径，AC=2，AE=3，求sinB 的值。

分析：

图4

图5

点评：上题解决关键是抓住直径这个条件去构造辅助线，文章开头所提的中考题与变式2 的问题本质相同，它们与课本例题本源是一样的。

变式3：如图6，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AB=4，AC=3，AD=2，求⊙O的面积。

分析：

图6

图7

图8

方法四：如图9，过点B 作直径BE，连接AE，具体解法请读者去思考。

点评：以上几种解题方法仍然是抓住直径这个关键条件去构造辅助线，不过在构造辅助线时可以从不同的角度入手。……