白瑞蒲,李晓娟

(河北大学 数学与信息科学学院， 河北 保定 071002)

3-李代数[1]在几何、物理等方面都发挥了重要作用[2-3], 因此, 3-李代数的研究受到人们的广泛关注[4-6]. Lie-Rinehart代数作为李代数胚的几何概念中的代数部分被人们所熟知[7]. 1997 年, Huebschmann 给出了Lie-Rinehart代数的概念, 并研究了其在李代数胚上的作用[8]. 之后许多学者对Lie-Rinehart代数的结构及应用进行了研究[9-10]. Mandal[11-12]等定义了Hom-Lie-Rinehart代数, 并研究了其低维扩张问题.本文要对3-Lie-Rinehart 代数[3]的导子和交叉模的结构进行研究.

除特别声明以外, 文章讨论的代数和向量空间的基域F的特征为零,A是F上的交换结合代数,V为F上的向量空间.

1 预备知识

3-李代数L是具有线性运算[,,]:L＾ 3→L的向量空间[1],满足∀x1,x2,x3,y2,y3∈L,

[[x1,x2,x3],y2,y3]=[[x1,y2,y3],x2,x3]+
[[x2,y2,y3],x3,x1]+[[x3,y2,y3],x1,x2].

(1)

设L是F上的3-李代数,如果F-线性映射D∶L→L满足∀x,y,z∈L,D[x,y,z]=[Dx,y,z]+[x,Dy,z]+[x,y,Dz],则称D是L的导子,L的导子李代数记为Der(L).

由式(1),对∀x,y,z∈L,左乘映射adx,y∶L→L,adx,yz=[x,y,z]及其线性组合是导子,称为内导子,且满足∀x1,x2,y1,y2∈L,[adx1,y1,adx2,y2]=ad[x1,y1,x2],y2+adx2[x1,y1,y2].内导子李代数记为ad(L).

对F线性映射ρ∶L∧L→gl(V),若有下列等式成立∀xi∈L,1≤i≤4,

[ρ(x1,x2),ρ(x3,x4)]=ρ([x1,x2,x3],x4)-ρ([x1,x2,x4],x3),

ρ([x1,x2,x3],x4)=ρ(x1,x2)ρ(x3,x4)+ρ(x2,x3)ρ(x1,x4)+ρ(x3,x1)ρ(x2,x4),

则称(V,ρ)是3-李代数L的表示,简称(V,ρ)为L-模[4].子空间Kerρ={x∈L|ρ(x,L)=0}称作ρ的核.

由式(1)可知,对任意3-李代数L,(L,ad)是3-李代数L的表示,称为L的正则表示,其中∀x,y∈L,ad∶L∧L→gl(L),ad(x,y)=adx,y，且Kerad=Z(L)={x∈L|[x,L,L]=0}.

定义1[10]设L是李代数,且L是A-模,(A,ρ)是L-模.如果ρ(L)⊆Der(A),并且

[x,az]=a[x,z]+ρ(x)az,ρ(ax)=aρ(x),∀x,z∈L,a∈A,

(2)

则称(L,ρ)为李-Rinehart代数.若ρ=0,则L叫作李-A代数.

定义2[13]设域F上的3-李代数L是A-模,(A,ρ)是L模,且满足ρ(L∧L)⊆Der(A),

[x,y,az]=a[x,y,z]+ρ(x,y)az,ρ(ax,y)=ρ(x,ay)=aρ(x,y),∀x,y,z∈L,a∈A,

则称(L,A,ρ)为3-李-Rinehart代数.进一步,若ρ=0,则(L,A)为3-李A-代数.

定义3[13]设(L,A,ρ)和(L′,A,ρ′)是3-李-Rinehart代数,f∶L→L′是3-李代数同态.如果f满足

f(ax)=af(x),ρ′(f(x),f(y))=ρ(x,y),∀a∈A,x,y∈L,

(3)

则称f为3-李-Rinehart代数同态.进一步,如果f是双射,则称f是同构映射;如果f是满射并且Ker(f)⊆Z(L),则称f为中心满态.

定义4[13]设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,(R,A)是3-李A-代数,β∶L∧L→Der(R)是F-线性映射. 如果满足:

1)(R,β)是3-李代数L-模；

2)β(ax,y)=β(x,ay)=aβ(x,y),∀a∈A,x,y∈L；

3)β(x,y)(ar)=aβ(x,y)r=β(x,y)(a)r,∀a∈A,r∈R,x,y∈L.

则称β是(L,A,ρ)在(R,A)上的作用. 进一步……