彭涓 杨金强 刘泽华 赵思琦

基金项目：国家自然科学基金项目（71772112;71972122;72072108）、上海财经大学创新团队建设项目（2016110241）

作者简介：彭 涓（1986—），女，湖南湘潭人，博士，华东政法大学商学院讲师， 研究方向：行为金融，资产定价;通讯作者：杨金强（1983—），男，河北衡水人，博士，上海财经大学金融学院教授，博士生导师，教育部青年长江学者，国家自然科学基金委优秀青年基金获得者，上海市领军人才， 研究方向：公司金融、数理金融、 风险管理。

摘 要：运用动态最优控制理论与随机金融分析方法，研究由劳动收入的特质风险与借贷约束导致的非完全市场对消费者最优投资和消费策略、波动及福利损失的影响，得到相应的动态最优投资和消费策略。研究发现：非完全市场会显著抑制消费者的消费动机和投资动机，并加剧消费波动和投资波动。此外，财务困境下非完全市场会对消费者造成高达40%的福利损失。

关键词：特质风险;非完全市场;投资组合;借贷约束

中图分类号：F830.59 文献标识码：A 文章编号：1003-7217（2021）06-0075-07

一、引 言

经济冲击随时都可能发生，不管是商业周期波动、国际金融市场波动还是贸易政策不确定性等都会对居民的收入产生很大的影响。最近的新冠肺炎疫情只是众多例子中的一个。面对这样的冲击，许多居民可能面临收入减少，甚至出现入不敷出的艰难时期。如何平滑自己的消费以及怎样优化自己的投资策略显得尤为重要。消费具有较强的稳定性，它是宏观经济中很平稳的变量。党的十一届三中全会制定的一系列改革开放政策，使经济得到持续快速发展。随着收入水平的大幅提升，居民的消费需求快速增长，消费水平迅速提高。2011-2019年间，我国的最终消费率平均约为53%。虽然受新冠肺炎疫情的影响，2020年最终消费率接近55%，但是总体趋势还是比较平稳的。

一般来说，发展成熟的金融市场能够通过风险分担来降低消费的波动程度。随着我国金融市场的快速发展，越来越多的居民开始选择将一部分资金投资于金融市场，可选的金融资产的种类不断增加，但是储蓄和购买股票或基金仍然是居民的主要选择。我国居民的储蓄率在家庭金融资产中占比例偏高（大部分年份都在50%以上，1995年更是高达87.1%），而股票和基金的比例偏低（常年低于20%）。因此，在一定的预算约束下，居民如何进行合理的消费、储蓄和金融资产投资，对其实现终身效用最大化有着重要的作用。

从20世纪70年代开始，Merton （1969）和 Samuelson （1969）首先证明了在完全市场和没有劳动收入的假设下[1，2]，最优投资组合选择在整个生命周期中是常数。随后，许多经济学家在此基础上进行了大量的拓展研究。在现实中，市场为消费者提供的资源是有限的，消费者在面对收入波动等特质风险时如何平滑自己的消费以及如何调整自己的投资策略是非常重要的问题。

Cox和 Huang （1989）研究了不确定条件下连续时间内的最优消费组合问题[3]。Munk（2008）研究了一个具有偏好形成习惯的投资者的动态消费以及最优投资组合[4]。Wang和 Hou（2015）考察了习惯形成、资本主义精神、递归效用和稳健性这四个因素对消费和投资组合选择、消费动态和资产定价的影响[5]。宋静静等（2014）研究了有限期限上的最优投资消费问题[6]。姜奎等（2016）探讨了通货膨胀对投资者的消费投资策略的影响[7]。费为银等（2016）研究了当随机利率服从CIR模型时，带有随机劳动收入的最优消费投资问题[8]。彭涓等（2017）研究了过度外推下消费者的最优消费策略和投资组合[9]。李仲飞等（2017）探讨了具有随机收入和时变相对风险厌恶系数的消费者的最优投资消费问题[10]。

然而，这些研究并没有考虑借贷约束和特质风险。Wang C，Wang N 和Yang J（2012，2016） 虽然假设借贷约束和特质风险会导致非完全市场[11，12]，但是他们仅考虑了最优消费，而没有将投资组合考虑进来。本文在借贷约束下，研究在存在收入波动等特质风险时的最优消费与投资组合問题，研究问题更贴合实际，结论和启示对发展和完善我国金融市场具有直接的借鉴意义。

二、假设和模型

在连续时间下，假定消费者可以无限期生存，且可以获得永久性的随机收入流。金融市场上具有无风险资产和与系统风险完全相关的风险资产两种金融产品。另外，为了保证消费者净财富时刻为正，假定消费者不能进行借款，这体现了借贷约束和信贷市场的非完全。

（一）劳动收入过程

广泛应用的劳动收入过程均会考虑临时性和永久性冲击，这在模型中都会得到体现。为了方便，在基准模型中假定Y仅包括永久性冲击。

财经理论与实践（双月刊）2021年第6期2021年第6期（总第234期）彭 涓，杨金强，刘泽华等：居民最优消费与投资组合

假定劳动收入服从下列几何布朗过程：

其中，B是标准的布朗运动，μ是收入的期望增长率，σ是收入的波动率。

（二）投资组合

正如Merton（1971）[13]所假设的，消费者面临以下两种金融资产：支付固定利率的无风险资产和反映市场风险的投资组合。假设时间段dt内，市场投资组合的收益服从独立同分布（i.i.d.），即：

其中，μR和σR代表市场投资组合回报的均值和波动率，Z是标准的布朗运动。令

式（3）表示市场投资组合的夏普比率。假设消费者的劳动收入与市场组合回报的相关系数为φ，其中φ≠1表示消费者的劳动收入风险不能被完全对冲。不可对冲的劳动收入风险则为特质风险，定义为ε=σ2（1-ρ2），其中ε>0体现了金融市场的非完全。可见，市场的非完全性同时体现在金融市场的非完全和信贷市场的非完全。

（三）Epstein-Zin期望递归效用函数

在投资消费文献中，常相对风险厌恶效用函数（CRRA）是最常见的偏好函数，然而该类型的效用函数也存在一定的局限性，比如它不能将跨期替代弹性系数（EIS）和风险厌恶系数进行区分。为更好地体现非完全市场下偏好对投资消费的影响，采用比较常用的非期望递归效用函数，它是由Epstein和Zin（1989）以及Weil（1990）在Kreps和Porteous（1978）的工作基礎上创立的，能够很好地将风险厌恶系数和EIS系数分离开来[14-16]。非期望效用函数的连续形式如下：

其中，fC，V是有关C和V的正规化算子。Duffie和Epstein（1992）[17]指出，在Epstein-Zin效用下，fC，V的表达式如下：

其中，θ=1-ψ-11-γ。这里，ψ是EIS系数，γ是相对风险厌恶系数，ρ是主观贴现因子。值得一提的是，当风险厌恶系数等于EIS的倒数时， 即γ=1/ψ， CRRA效用函数是递归效用函数的一个特例。此时可得f（C，V）=U（C）-ρV，其中U（C）=ρ C1-γ/（1-γ）。也就是说，CRRA效用函数将C和V分割开来。若θ≠1，则f（C，V）无法拆分C和V。

（四）金融财富动态过程与借贷约束

定义W为消费者的金融财富，Πt为消费者投资于市场风险资产的价值，根据上面的假设可得金融财富动态过程如下：

假设消费者不能借用未来的劳动收入，即在任意时刻消费者的财富均不为负，即Wt≥0。这也就意味着当Wt=0时，Ct≤Yt。

总而言之，给定劳动收入过程式（1），财富积累过程式（7）以及借贷约束，消费者的目标是最大化其效用函数，即式（4）和式（5）。在分析非完全市场模型之前，首先阐述完全市场下的求解过程并介绍基于确定性等价财富过程的永久性收入假说（PIH）。

三、完全市场（CM）和永久收入假说（PIH）

为更好地分析非完全市场对投资消费与收入估值的影响，首先给出完全市场下的解。为了使模型具有动态完备性，假定金融市场中还有一个可交易的金融资产，该资产与收入的特质风险是完全相关的。通过运用Black和Scholes（1973）[18]提出的动态投资组合复制策略，在动态无摩擦的环境下交易无风险资产和新引进的风险资产，能够得到完全市场下的解。接下来，与Friedman（1957）[19]和Hall（1978）[20]一样，定义人力财富（用H表示）为未来所有劳动收入的贴现值：

在完全市场下，式（7）表示劳动收入的市场价值，因为劳动收入风险被完全分散化，且没有风险溢价的补偿，因此劳动收入的贴现率为无风险利率r。为了保证人力财富在完全市场下是有限且收敛的，假设劳动收入的期望增长率μ-ρησ小于市场利率r，即：

可以得到，人力财富与当期收入水平是成比例的，即：

本文的模型（在完全市场以及非完全市场下）关于财富W和收入Y具有齐次性的特性。用小写字母（大写字母除以当期收入Y）表示单位收入对应的变量。例如，wt=Wt/Yt，ct=Ct/Yt和πt=Πt/Yt分别表示金融财富收入比、消费收入比与投资组合收入比。为保证完全市场下解的收敛性，还需进一步假设：

它意味着，主观贴现因子ρ需要足够大，以保证能够产生足够大的消费动机，使得财富积累速度不会过快，从而确保最优化问题具有收敛的解。下面的定理总结了完全市场下的主要结论：

定理1 在保证收敛性的条件1和条件2同时满足的情况下，完全市场下消费者的价值函数V*W，Y为

四、非完全市场

基于前文的基本假设，运用猜测和验证方法，可得到价值函数VW，Y为：

其中，b同样由式（12）给出。在式（17）中，PW，Y可以解释为确定性等价财富，即t时刻使得消费者在：（1）现状（拥有财富W和收入Y）;（2）以后永远没有收入，这两种情况下无差别的总财富。因而VW，Y为

为什么选择分析确定性等价财富PW，Y而不是分析价值函数VW，Y呢？首先，确定性等价财富是比较直观的概念，其单位是消费品的数量，而价值函数VW，Y的单位是效用，这个单位是不能被直接衡量的;其次，PW，Y有利于分析。例如，通过计算PW，Y以及其导数，即金融财富的边际价值PWW，Y，可以衡量金融摩擦的影响。

用cw=CW，Y/Y表示单位收入对应的确定性等价消费，用pw=PW，Y/Y表示单位收入对应的确定性等价财富。运用齐次特征，可得到单位收入对应的金融财富w=W/Y以及金融财富的边际价值PWW，Y=p′w。定理2归纳了关于cw和pw的主要结论。

五、经济学分析

（一）参数选取

本文模型较为简单，仅包含八个参数。为进行合理的经济学分析和产生有现实意义的经济学启示，借鉴消费储蓄领域权威文献的参数。首先，根据Deaton（1991）[21]和Carroll（1997）[22]设置收入过程的两个参数值为：期望增长率μ=1.5%，波动率σ=10%。然后，借鉴Guvenen（2006）[23]和Wang C，Wang B和Yang J（2016）[12]，选定偏好相关的三个参数值为：风险厌恶系数γ=3，跨期替代弹性ψ=1，主观贴现因子ρ=4%。最后，参考Wang C，Wang N和Yang J（2012， 2016）[11，12]，选取市场相关的两个参数为：无风险利率r=3.5%，夏普比率η=30%，风险和收益相关系数φ=0。

（二）估值与福利损失

图1（a）和图1（b）反映了非完全市场对消费者单位收入对应的确定性等价财富pw和劳动收入的（主观）价值qw的影响。特质风险ε越大，表示消费者的特质风险越大;w越小，意味着消费者面临更大的借贷约束，这两个因素都造成了市场的非完全。不难发现，市场非完全程度越高，消费者单位收入对应的确定性等价财富越低，劳动收入的价值也越低。进一步研究发现当消费者单位收入对应的金融财富越高（w越大），借贷约束和特质风险对消费者的负面影响越小，此时消费者单位收入对应的确定性等价财富和劳动收入的价值就越高。反之，当消费者单位收入对应的确定性等价财富很低（w很小）时，消费者面临财务困境，此时金融财富的略微增加都可能极大缓解借贷约束和特质风险的影响，因此相应的金融财富的边际价值p′w很高，1单位金融财富的增加会带来双倍的价值（见图1（c））。特别地，特质性风险对金融财富的边际价值的影响取决于金融财富水平大小（见图1（c））。对于金融财富水平不足的消费者而言，更大的异质性风险对财富的边际价值产生非单调的影响，而对于金融财富较高的消费群体来说，更大的异质性风险只会提高财富的边际价值。最后，图1（d）显示，非完全市场会对消费者的福利损失lw造成显著影响，比如在基准参数下（ε=0.1），消费者的福利损失大约为40%。随着金融财富的增加，消费者的借贷需求逐渐降低，特质风险的规避能力逐渐增强，因此福利损失逐渐减小。

（三）投資与消费

图2 分别展示了非完全市场对消费策略cw，投资策略πw，消费的边际倾向c′w，投资的边际倾向π′w，以及消费波动σcw与投资波动σΠw的影响。其中，由图2（a）和图2（b）可见，非完全市场会导致消费者消费不足和投资不足。这是因为消费者通过抑制消费和金融投资以增加预防性储蓄，从而更好地规避特质风险和借贷约束。图2（c）和图2（d）给出了非完全市场对消费倾向和投资倾向的影响，不难发现，当消费者面临财务困境（w较小）时，每增加1单位的金融财富，会引致消费者0.2单位的消费增加和超过4单位的金融投资，在定量上约四倍于完全市场下的值。这意味着，财务困境下的信贷放宽或金融资产多样化（减小特质风险ε），会显著降低消费不足和投资不足，从而在极大程度上缓解非完全市场对消费者消费与投资行为的扭曲。最后，由图2（e）和图2（f）可见，非完全市场会增加消费者的消费与投资的波动性，这意味着通过降低特质风险或放宽借贷约束提高市场的完备性，可有效平滑消费者的消费和投资行为。

六、结束语

特质风险与借贷约束是导致市场非完全的重要因素。以上通过在经典的最优消费与投资组合模型基础上，考虑了由劳动收入的特质风险与借贷约束导致的非完全市场对消费者最优投资和消费策略、波动及福利损失的影响。研究表明：（1）非完全市场会抑制消费者的消费与投资组合动机，引致显著的消费不足和投资不足，并且消费与投资行为的扭曲可能会导致消费者的福利损失高达40%;（2）在财务困境中，充裕的财富会极大缓解借贷约束和特质风险的负面影响，此时，金融财富的增加会带来双倍的价值体现;（3）市场的非完全性会加剧消费者消费与投资策略的波动性。

由此可见，发展和完善金融股票市场和借贷市场，可以降低居民由于市场不完全可能导致的投融资风险，提高居民的福利水平，是平滑消费者消费和投资行为的有效手段。尤其在当前复杂的形势下，发展完善的金融市场可以提升金融对消费和投资的支撑，对推动消费发展和促进国内大循环等有积极的影响。

参考文献：

[1] Merton R C. Lifetime portfolio selection under uncertainty：The continuous time case[J]. Review of Economics and Statistics， 1969，51（3）：247-257.

[2] Samuelson P A . Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming[J]. Review of Economics and Statistics， 1969，51（3）：239-246.

[3] Cox J C， Huang C F. Optimal consumption and portfolio policies when asset prices follow a diffusion process[J]. Journal of Economic Theory，1989， 49（1）：33-83.

[4] Munk C. Portfolio and consumption choice with stochastic investment opportunities and habit formation in preferences[J]. Journal of Economic Dynamics and Control， 2008，32 （11）：3560-3589.

[5] Wang H， Hou L S. Robust consumption and portfolio choice with habit formation， the spirit of capitalism and recursive utility[J]. Annals of Economics and Finance， 2015，16（2）：393-416.

[6] 宋静静，毕秀春，张曙光.有限期限上具有随机利率的最优投资消费模型[J].系统科学与数学，2014，34（8）：914-924.

[7] 姜奎，费为银，杜宏俊. 基于通胀和劳动收入的最优消费投资问题研究[J].安徽工程大学学报，2016，31（1）：65-70.

[8] 费为银，王晓弟，夏登峰. CIR利率模型下带有随机劳动收入的最优消费投资策略[J]. 东华大学学报（自然科学版），2016，42（2）：306-312.

[9] 彭涓， 靳玉英， 杨金强.基于过度外推的最优投资与消费策略[J].管理科学学报，2017，20（3）：56-62.

[10]李仲飞，陈峥. 带有随机收入与时变风险厌恶系数的最优投资-消费问题[J].系统工程理论与实践，2017，37（7）：1665-1678.

[11]Wang C， Wang N， Yang J. A unified model of entrepreneurship dynamics[J]. Journal of Financial Economics， 2012， 106（1）：1-23.

[12]Wang C， Wang N， Yang J. Optimal consumption and savings with stochastic income and recursive utility[J]. Journal of Economic Theory， 2016，165（5）：292-331.

[13]Merton R C. Consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J]. Journal of Economic Theory，1971，3（4）：373-413.

[14]Epstein L ， Zin S E. Substitution， risk aversion， and the temporal behavior of consumption and asset returns：A theoretical frame work[J]. Econometrica ，1989，57（4）：937-969.

[15]Weil P. Non-expected utility in macroeconomics[J]. Quarterly Journal of Economics， 1990，105（1）：29-42.

[16]Kreps D M， Porteous E L. Temporal resolution of uncertainty and dynamic choice theory[J]. Econometrica，1978，46（1）：185-200.

[17]Duffie D，Epstein L G. Stochastic differential utility[J]. Econometrica， 1992， 60（2）：353-394.

[18]Black F. Scholes， M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy， 1973， 81（3）：637-659.

[19]Friedman M. A Theory of the Consumption Function[M]. Princeton：Princeton University Press，1957.

[20]Hall R E.Stochastic implications of the life cycle-permanent income hypothesis：theory and evidence[J]. Journal of Political Economy，1978， 86（6）：971-987.

[21]Deaton A. Saving and liquidity constraints[J]. Econometrica，1991， 59（4）：1221-1248.

[22]Carroll C D. Buffer-stock saving and the life cycle/permanent income hypothesis[J]. The Quarterly Journal of Economics， 1997，112 （1）：1-55.

[23]Guvenen F. Reconciling conflicting evidence on the elasticity of intertemporal substitution：A macroeconomic perspective[J]. Journal of Monetary Economics， 2006，53（7）：1451-1472.

（責任编辑：厉 亚）