安 军

(重庆工商大学 数学与统计学院，重庆 400067)

矩阵的初等变换有三种类型：交换某两行或两列；将某一行或列乘以一个非零的数；将某一行或列乘以一个数加到另一行或列上去。两个m×n矩阵A,B等价是指矩阵A可以通过若干次初等变换化成矩阵B，或者说存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B；两个n阶矩阵A,B相似是指存在n阶可逆矩阵P(称为相似变换矩阵)，使得P-1AP=B；两个n阶实对称矩阵A,B合同是指存在n阶可逆矩阵P(称为合同变换矩阵)，使得PTAP=B[1]。矩阵的等价、相似、合同是矩阵理论中重要的三种等价关系，它们分别具有反身性、对称性及传递性，都可以用于研究矩阵的分类。因此，矩阵的等价标准形、相似标准形及合同标准形是矩阵理论的重要内容之一。

将n阶单位矩阵I经过一次初等变换分别得到n阶矩阵E(i,j),E(i(k))(k≠0)和E(i,j(k))，统称为n阶初等矩阵，其中特别注意：

任一n阶可逆矩阵都可以分解成若干个初等矩阵的乘积，初等矩阵都是可逆矩阵，它们有如下性质[1]：

E(i,j)T=E(i,j)，E(i(k))T=E(i(k))，

E(i,j(k))T=E(j,i(k))；E(i,j)-1=E(i,j)，

E(i(k))-1=E(i(k-1))(k≠0)，

E(i,j(k))-1=E(i,j(-k))。

两个n阶矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子或相同的初等因子；两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值中正、负和零的个数分别相同。

针对两个方阵相似以及两个实对称矩阵合同，本文分别介绍了初等相似变换与初等合同变换的概念，得到求相似变换矩阵及合同变换矩阵的一般方法，并以近年考研试题为例介绍这两种方法的应用。

1 初等相似变换

(1)交换A的第i,j两列，同时交换第i,j两行，即E(i,j)AE(i,j)；……