皮晓瑞

摘 要：高中数学与高等数学之间，有着衔接困难的问题。问题主要存在于高考结束后，高中生踏入大学校园生活，尤其是文科类学生在学习高等数学有吃力的感觉。针对高中数学的学习方法，能否适用于高等数学还有如何改变学习习惯，提出个人的建议和做法。并且在学习高等数学的过程中，微积分的计算属于基本要求掌握且重要的章節，是高等数学金字塔体系中的重要一环。所以当我们理解透彻微积分的计算后，便能更加有效地学习好高等数学。

关键词：高中数学; 高等数学; 文科生; 微积分

中图分类号：G644.5           文献标识码：A       文章编号：1006-3315（2021）3-118-002

2019年高考结束，我们进入大学开始新的学习。通过一个学期的学习，再去掉军训的时间差不多只有三个月的学习时间。大一上学期我们只是基本了解到高数的基本内容是函数。到了大一下学期的时候，由于疫情的影响，我们只能通过上网课的方式来学习高数，并且在大二下学期中主要重点学习不定积分和定积分的章节。

在高中我们学习数学的时候，涉及的内容非常广泛，总共有五本必修和三本选修书。在函数这一块，高中数学学习的是初等函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和经过有限次四则运算和复合运算得来的。而高等数学，我们学习的内容主要就是函数，所以高中数学函数内容学好了，就是大学高等数学学好的基础。很多同学觉得高数不是很容易学进去，实际上这个门槛就在于高中数学关于初等函数的基础没有打扎实，对初等函数的性质没有很熟悉，因此在一开始学习和做题目就感到困难。

在此我们再次熟悉高中数学关于初等函数对于大学高数函数衔接的相关定义。对于幂函数，形如y=xa（a为有理数）的函数，在高等数学中，其a除了有理数还可以是任意实数或复数。对于指数函数，形如y=ax（a[>0]，a[≠1]）的函数，应用到e值时，为y=ex，这里的e是数学常数，近似等于2.718281828。对于对数函数，它的形式为y=logaX（a[>0]，且a[≠1]），与指数函数是互为反函数的关系。那么何为反函数呢？其定义是反函数X=f-1（y）的定义域、值域，分别是函数y=f（x）的值域、定义域。简单来说，就是两函数的值域和定义域互换，有不同的表达函数，具有可逆性。同时，我们所知的三角函数与反三角函数也是反函数的关系。对于三角函数，有正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx这三种常用三角函数，而到了大学，我们还需要学习正切函数y=tanx，余切函数y=cotx，正割函数y=secx和余割函数y=cscx。还有反三角函数的反正弦函数y=arcsinx、反余弦函数y=arccox（-1[≤x≤1]，0[≤y≤Π]）、反正切函数y=arctanx、反余切函数arccotx（-[∞≤x≤+∞]，0[≤y≤Π]）反正割函数y=arcsecx、反余割y=arccscx。这些函数在高中阶段并没有要求我们掌握，而大学高数课堂上老师也会因为这是高中内容而不去讲述。因此产生了知识空白，需要我们自己去自主补充学习，如果不去掌握，学习高数就开始变得困难。而在高数课本同济7版中，附属页面有详细说明其性质，我们可以由此掌握。

在学习上，高中数学和高等数学是有很大的不同。高中数学主要讲究的是对各类题型的掌握和熟练，需要我们去“刷题”来“积累套路”，并且高中数学知识的概念是比较简单的，大多数都是浅尝辄止。因为本人是文科生，高中学的是文科数学，在内容上比理科数学少了一些，相对来说难度也低了一些。所以在学习方法上就是，通过记忆力记住公式，然后学会套用运用解题。简单来说就是“题海战术”。通过大量做题来达到熟练题型的目的，思维十分单一，这是应试考试的学法。

高中数学的学习习惯对我们在大学学习高数也有影响。在高三阶段时，文科生背诵方面的能力较好，在学习数学的时候，有部分同学是有通过背题来掌握题类的习惯。这种方式在基础题方面有效，是因为基础题的变通性较弱，并且题型比较固定，因此在背诵后，可以通过步骤拿分掌握相关类型的题目。而在高等数学的学习中，基础题似乎只存于能直接使用相关公式解出的题，这种背诵题目的习惯在面对高数需要技巧性强或者思考难度较高的题目，就不适用了。通常来说文科生的逻辑思维比理科生差，对公式的掌握和熟悉显然是理科背景的同学更加老到，因此文科生在高数的学习中就比较受阻了。在此，我根据自己的学习经验，提出学习高数的方法供同为文科生的同学参考。我们在学习的时候，看书、做题和思考是通用法则。而在看书这方面，不必苛求理解，可以利用我们背书的天赋，先熟悉公式，在心中对公式定理有个大概的印象。最后再去看公式是如何推导出来，了解公式的产生和证明，有益于我们做题时对公式能够灵活的运用。有句老话说，“书读百遍，其义自见”在此也适用。所以文科生的学法相对枯燥无味，但坚持也是我们的韧性所在。

而到了大学阶段，高等数学最主要也是最为核心的就是极限思想。如果我们没有理解好极限思想，后面的学习也很难继续展开。所以要求我们改变死记硬背的习惯，要多思考为什么，学会提出问题，我们才能更好的解决问题。因为高等数学对函数的学习是不断深入和拓展的，而极限则是基本要求。并且知识概念都很抽象化，还有许多我们不熟悉的符号，很难去形象表达，需要我们去认真思考和读懂这些概念。最后，高等数学的知识体系就像一座金字塔，最下面是极限，然后环环相扣，后一章的内容一般都会用到前一章的内容。同时每一章的公式也是特别的多，定义定理等也是十分之多，需要我们记忆的内容也就更多了。

我们在学习高等数学的时候，对一个知识点的掌握，一般可以通过去弄通经典例题，来深刻体会和掌握知识点。我在学习不定积分和定积分时，是先去读通了它的概念表达了什么，首先是它们的关系是什么：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们不过是在数学逻辑上存在一个计算关系。不定积分其实就是一个函数的导数的形式，然后它只给你这个导数的表达式子，我们需要通过这个式子，去求出原来的这个函数，因为有许多函数求导之后可能是相同的式子，比如3x+1和3x，他们求导后都是3，所以这个求导后的式子就是不定的，因为他们之间差了常数，如果我们确定了这个常数，那么我们就可以确定了这个式子，那么这个式子就是定积分了。

我们在做题的时候也要掌握好面对不定积分和定积分的方法。对于不定积分来说，方法有直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法和分部积分法。直接积分法需要我们对积分表掌握熟悉才能使用。对于后面的方法，在这我举例几个例题来演示下如何运用。

直接积分法的使用：举个例题：[（1-1x2）][xxdx]，首先我们需要看这个式子能否直接运用，不过我们看到没有公式可以直接套用，这个时候我们就需要进行简单的恒等变换，把式子变形成[（x34-x-54）dx]，最后直接通过公式得出答案[47x74+4x14+c]。这个方法主要需要我们对式子的细心观察和对公式要足够熟悉。不然我们这个方法使用起来也是挺困难的。

第一换元积分法：其实这个方法就是凑微分法。如[f（x）dx]，我们要先凑成[g[φ（x）]φ'（x）dx]，然后令[φ（x）=u]，我们就可以得到[g（u）du]，然后求出G（u）+c，最后还原回来，就得到G[[φ（x）]]+C。举个例子：[tanxcosxdx]。我们把tanx拆开得到[sinxcosxcosxdx]，然后变成[-dcosxcosxcosx]，得到-[（cosx）-32dcosx]，最后求出答案是[2cosx+C]。我们做题的关键就是把例题本来的元素x，换成了元素cosx，这样方便我们更迅速地去做题。湊成了cosx的微分，让我们计算变得更加简便和轻松。

第二换元积分法的核心就是：设一个代换的元素，然后这个元素是可以单调可导的，并且这个元素的导数不能等于0.这个做法的关键就是我们要如何去选择代换的元素，让我们去吧无理式的积分化成有理式的积分，通常我们是用于消去根号，然后使得我们的计算更简便。

分部积分法：这个方法的公式是[uv'dx=uv-u'vdx]。举个例子：[x3exdx]。我们先变形成[x3dex]，再利用公式得出[x3ex-3x2dex]，然后再对后者用一次公式等到[x3ex-3x2ex+6xdex]，最后得到答案是[x3ex-3x2ex+6xex-6ex+C]。这个方法就是如何确定u和v'，当我们确定好了v'是[ex]，就可以更加方便地得出答案，因为[ex]的导数就是它本身，对于我们计算更加简单，所以选取它。我们计算定积分的时候，首先我们需要明白牛顿-莱布尼兹公式，是告诉我们一个连续函数在区间ab上的定积分，是等于它任意一个原函数在区间上的增量。公式为[abf（x）dx=F（b）-F（a）=F（x）ab]。在此举个例题，[0Π2（2cosx+sinx-1）dx]，通过积分表可以得到2[sinxΠ2][0-cosx][Π2][0-xΠ2][0]，再根据其公式的意思，分别把上下限的数值代入相应的函数相减，再把三个函数结果值相加，得到3-[Π2]。这就是公式的基本思想和应用。不过定积分也是经常用到换元积分法和分部积分法，对于换元积分法，首先要理解定积分的换元公式要满足的条件，需要f（x）函数在区间ab内可连续，换元后的函数在区间αβ上是单值的和有连续的导数，所以公式为[ba（x）dx=αβf[φ（t）]φ'（t）dt]。在此举个例题，[0Π2cos5xsinxdx]，首先我们观察例题发现，cosx是高次，因为我们需要更换cosx，减少复合函数的运算量，所以有令t=cosx，那么dt=-sinxdx，又由定积分的上下限分别推出x=[Π2][?]t=0，x=0[?]t=1。那么原式=-[10t5dt=t6610=16]，这里由于前面有个负号，因此积分上下限调换过来抵消掉。在此我们需要注意到一个容易错漏的地方，在换成新自变量t的时候，我们需要把积分的上下限也相应的做出改变。同时，定积分不需要像不定积分一样变换为原来自变量x的函数，只用在新变量下，带入原来表示t的函数的式子进行积分上下限的相减就行了。定积分的分部积分法则和不定积分一样计算。公式为[abudv=[uv]ba-abvdu]。举个简单的例题，[012arcsinxdx]。令u=arcsinx，则du=[dx1-x2];dv=x，则v=x。依照公式得出式子[[xarcsinx]12][0-012xdx1-x2]对于后一个式子变形得到[01211-x2d（1-x2）]。最后上下限代入整个式子运算得到答案为[Π2+32-1]。我们要学会运用这两种方法来解决这两种积分，这可以帮助我们更有效积累做题的经验。不定积分和定积分是我们攀登高数山峰途中遇到的第一道门槛，只要我们在跨过这道门槛后，我们就会拥有信心，迎接接下来章节的挑战，而在这其中学习到的方法，会使我们后续章节学起来也会游刃有余。

最后对于我们在大学如何更好的学习高等数学，从我的经验看来，其实上课这个时间段必须利用好，不能觉得老师讲的太简单就不用心听课，然后下来自己突击一两章也能考好，这会是个留有后患的问题——你需要培养自己尽快适应不同老师讲课的能力，不能沉浸在之前高中时候数学老师督促我们学习的状态。我们在疫情期间一天的大多数时间都是上网课，好好利用起来上课的时间，不管能听懂多少都要尽量跟下来，不能觉得自己只要下课补回课堂知识就行了。然后就是老师上课让做的例题，要去仔细思考和做题，老师让我们去做的题目都是这个知识点的经典运用，我们想学习一个新东西和要想掌握新东西，最好的方法就是去用它。所以老师当堂布置的题一定要抓住机会去练，最后尝试用自己的语言去翻译它，我们的知识点就会更加掌握。可以找机会教别人，教别人做题也是在巩固自身所学的知识。只有打好基础，我们学习高数才会比较轻松和有效。也可以为以后考研打下基础。其实如果我们现在有同学没有认真听课的话，想追上来，就会是一个苦功夫了。所以有效学习高数应该做好的心理准备是，不蜕一层皮是学不好的。但是日积月累的作用是令人震撼的。只有静心去学习高数和向别人求助，坚持和努力我们才能有效学习好高数。

参考文献：

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