孙玲

[摘  要] 以“等比数列”起始课为例，尝试进行以问题为导向的教学设计实践与反思，以牵引学生的思维，在问题的解决中，提升学生的数学核心素养.

[关键词] 问题;导向;教学设计;反思

问题是数学的心脏. 离开了数学问题，数学教学如一潭死水，无法激起思维的涟漪. 因此，数学教学设计可以问题为导向，牵引学生的思维，在问题的解决中，提升学生的数学核心素养[1]. 以“等比数列”起始课的教学设计实践为例，谈谈笔者的做法与想法，供大家参考.

[⇩] 以问题为导向的等比数列教学设计

1. 创设问题情境，初识等比数列

師：前面我们已经学习了等差数列，并研究了等差数列的一些性质. 其实等差数列还有一个“孪生兄弟”叫等比数列. 什么是等比数列呢？请看下面的问题：

（1）细胞是如何分裂的？假如开始只有一个细胞，且每分钟分裂一次，那么一分钟后有几个细胞？两分钟后有几个细胞？三分钟后有几个细胞？……n分钟后有几个细胞？

（2）把刚才得到的一串数据按序排列得到一个数列，它具有什么特征？

设计意图：从学生熟悉的问题入手，引发一串神奇的数字，激发兴趣，培养分析与归纳的能力.

生1：刚才得到的一个数列2，4，…，2n，具有如下特征：从第二项开始，后一项与前一项的比值都是2，难道它就是等比数列？

师：对！这个数列就是等比数列. （学生尝试归纳等比数列的定义，并打开课本，看自己给等比数列下的定义是否与教材上的一致，并推导等比数列的通项公式a=aqn-1（q≠0））

师：通过探究，我们已经知道了什么是等比数列，那么你能否说出等比数列的具体例子.

生2：数列3，1，，，，…是等比数列，它的公比是，它的通项是a=3×

=32-n.

生3：数列-1，1，-1，1，-1，1…是等比数列，它的公比是-1，它的通项是b=（-1）n.

生4：数列a，a，a，a，…是常数数列，是等差数列，也是等比数列，它的公比是1，它的通项公式是c=a.

生5：我对生4的观点有异议，我认为常数数列不一定是等比数列，非零的常数数列才是等比数列，所以必须要加上条件：a≠0.

师：生5的回答非常好，等比数列中不含零项，因此，等比数列的公比永不为0.

设计意图：数学概念或定义，是数学学习的起点，但对概念或定义不可死记硬背，应灵活应用. 让学生举例等比数列，目的就是考查学生是否真正理解了等比数列的定义，包括等比数列的内涵与外延.

2. 借助类比思想，再探等比数列

师：刚才我们已经用归纳的方法得到了等比数列的通项公式. 那么我们能不能用更严谨的方法来推导这个公式呢？

探究1：对照等差数列推导通项公式的方法，观察等比数列相邻两项之间有什么共同特征，你能用符号准确地表示出来吗？

生6：等比数列的共同特征：=q，=q，=q，…，=q，=q（n≥2）. 等差数列是用累加法推出通项公式的，而等比数列可以用累乘法推出通项公式，即···…·=qn-1⇒a=aqn-1.

师：等差数列有等差中项，任何两个数都有等差中项，即实数a，b的等差中项是，那么等比数列也有类似的结论吗？

探究2：与等差中项的概念相类比，若在实数a与b中间插入实数A，使a，A， b成等比数列，则A必须满足什么条件？实数A唯一吗？是否任何两个实数都存在这样的项？

生7：由等差数列的等差中项可以类比得出等比数列的等比中项，即A2=ab，a=aa，但A不唯一，应该有两个，即±. 既然ab是被开方数，所以a与b必须同正或者同负，否则它不存在等比中项. 从这里我们可以发现，除首项外，等比数列任何一项的前后两项一定是同正或同负.

设计意图：通过引入探究1，启发学生利用等差数列方法去解决等比数列的通项问题，此外渗透类比思想，培养学生直观想象素养.通过引入探究2，启发学生利用等差中项的概念去得出等比中项的概念，并再次渗透类比思想. 通过两者的比较，发现认识的方法相同但本质不同.

师：到此为止，我们发现等比数列与等差数列看似孪生兄弟，但它们还是有着根本的区别，这也验证了那句老话：一母生九子，九子各不同. 但无论如何，它们还是“近亲”，你能否依据等差数列的有关性质，提出类似的关于等比数列的性质，并加以证明.

探究3：等比数列有哪些性质？（开放题）

生8：在等差数列{a}中有：若m+n=p+q，则a+a=a+a;类似地，在等比数列{b}中有：若m+n=c+d，则b·b=b·b. 证明如下：设等比数列{b}的公比为q，则b·b=bqm-1·bqn-1=bqm+n-2，b·b=bqc-1·bqd-1=bqc+d-2. 因为m+n=c+d，所以b·b=b·b.

生9：既然等差数列的通项可以写成a=a+（n-m）d，那么等比数列的通项就可以写成bn=bmqn-m……

生10：若一个数列是等差数列，那么它的奇数项（偶数项）也依次构成等差数列，于是等比数列中类似有：若一个数列是等比数列，那么它的奇数项（偶数项）也依次构成等比数列.

……

设计意图：按照通常做法，这个内容应放在下节课学习，但数学上的有关性质往往都是定义引发的，这里趁热打铁不仅体现了学生思维的延续性，更能使他们对等比数列的认识更清晰. 另外，具有发散性的问题也更能引发学生的思考.

3. 理论联系实际，编拟相关问题

师：学到现在，我们已经对等比数列有了一个清晰的认识，那么你能否类比等差数列编拟几个相关的等比数列的题目，并作出解答？允许合作完成.

十分钟后，学生交流.

生11：（1） a=2，且2a=4a，求a.（2）在等比数列{a}中，a=2，a=32，q=2，求n.

解：（1）由2a=4a和a=2知，数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列，所以它的通项公式是a=2n;（2）由题意有32=2×2n-1⇒n=5.

生12：假如某等比数列的第3项是12，第4项是18，那么它的第1项和第2项分别是多少？

解：设这个等比数列的第1项是a，公比是q，那么aq2=12①，aq3=18②，由 ②÷①得q=③. 把③代入①得a=，因此a=aq=×=8.所以这个数列的第1项和第2项分别是与8.

……

设计意图：一般来说，新授知识完成后，往往由教师给出相关问题让学生解决，以达到巩固新知的目的. 但这里采用了学生“自问自答”的形式，更能体现出学生学习的主动性与主体性，也切实可行[2].

4. 课堂小结与作业布置

课堂小结：（1）等比数列的概念和等比数列的通项公式;（2）思想方法：类比等差数列也可以得到等比数列概念和通项公式.

作业布置：（1）网上搜集实际生活中与等比数列有关的问题;（2）编拟两道与本节课内容有关的题目，并加以解答.

[⇩] 教学反思

任何科学的发展都离不开问题的产生与解决. 笔者将等比数列的起始课设计成问题，并通过问题的递进驱动课堂教学，用联系的观点和类比的方法揭示了数学知识的发生与发展过程. 一是问题的设计遵从教材，遵从学生的认知规律，且由浅入深，把学生的思维引向深入;二是本节课的设计又不拘泥于教材，将等比数列的性质提前到本课中学习，更能体现出数学学习的连贯性. 三是本节课始终以问题为主线，遵循以生为本的原则，引导学生思考，并付诸实践[3]. 同时，注重学生学习主动性的激发，把提问题的权力交给学生，让他们培养发散性思维，取得较好的教学效果.

教学设计是课堂教学的谋划与体现. 只有不断实践与总结，才能日臻完美，才能与学生的认知产生共鸣. 需要注意的是，以问题为中心的教学设计，问题不能浮于表面或流于形式，否则教学设计只是一种设想，无法产生效益，无法把学生推向核心素养的轨道.

参考文献：

[1] 于莺彬. 基于问题导向的高中数学核心素养培养策略[J]. 数学通讯，2019（05）.

[2] 陈文彩，苏建伟. 高中数学课堂自主学习问题设置的探究[J]. 新教育，2017（07）.

[3] 呂秀芹. 问题导向法在高中数学教学中的实践应用[J]. 高中数理化，2015（16）.

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