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[摘  要] 新版课程标准提出单元学习的要求，单元教学更有利于促进深度学习的发生，进而发展学科核心素养. 文章以“三角函数”为例，讨论单元教学设计的一般流程及可能遇到的问题.

[关键词] 单元设计;核心素养;三角函数

普通高中数学课程标准（2017年版）中对课程内容按照不同主题进行安排，每一个主题中又分解为若干个单元，并且在实施建议中明确指出，应当整体把握教学内容，引导学生从整体上把握课程，促进学生数学学科核心素养连续性和阶段性发展. 因此，教师通过整体单元教学设计，将有助于知识的融会贯通、迁移和综合运用，更有助于发展学科核心素养.

单元教学设计中的“单元”是一个宽泛的概念，可以从不同的维度设计呈现. 最常见的应当是按照教材中知识内容为单元呈现. 南京师范大学的喻平教授提出以建立个体CPFS结构为主题的单元教学模式. 还可以按照问题的发生解决过程为主题设计单元，以解决问题的数学思想方法为主题设计单元，甚至是以学科核心素养为主题设计单元等等. 本文以“三角函数”知识内容为主题，和大家探讨单元教学设计的一般流程.

单元内容分析

1. 知识层面

课程标准中指出三角函数内容包括：角与弧度、三角函数概念与性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用. 人教版新教材必修第一册第五章为三角函数，分别是：5.1任意角和弧度制，5.2三角函数的概念，5.3诱导公式，5.4三角函数的图像与性质，5.5三角恒等变换，5.6函数y=Asin（ωx+φ），5.7三角函数的应用.

如果把三角函数看作是一个“大单元”，本人的设想是将其拆分为三个“小单元”.

（1）单元一：任意角和弧度制，三角函数的概念. 本单元作用是给出三角函数的定义，为后续问题的研究做好知识准备.

（2）单元二：同角三角函数的基本关系，诱导公式，三角恒等变换. 本单元主要侧重三角的代数运算. 同角三角函数的基本关系是同一个角间的运算，诱导公式可以看作是一个任意角和一些特殊角之间的运算. 这两种运算在定义的基础上可以进行推导，同时也可以看作是定义的一种应用. 三角恒等变换可以看作是两个（甚至更多）任意角之间的运算. 三部分内容对三角变形运算的要求逐级递进.

（3）单元三：三角函数的图像与性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图像与性质，三角函数应用. 本单元主要侧重三角函数的几何性质. 借助函数的图像研究正弦、余弦、正切的基本性质后，将其与一次函数复合，进一步研究函数y=Asin（ωx+φ）的图像与性质. 最后将其应用到一些物理问题、实际问题中. 三角函数作为一种重要的函数模型，本单元对其函数图像及性质的研究也是逐步加深的.

2. 思想方法层面

三角函数是数与形紧密结合的一个大单元. 无论是任意角三角函数的定义，推导基本公式，还是探究三角函数的图像性质过程中，始终都要注意结合单位圆的使用. 其中所体现出的函数方程思想、数形结合思想应当是贯穿整个单元教学中最重要的思想方法，它们几乎可以渗透到每一个小单元的教学中去. 另外，在三角函数概念的引入，三角函数图像的应用等内容中，可以引导学生经历数学活动中常用的特殊到一般、类比、归纳、概括等逻辑推理方法;在诱导公式、三角恒等变换等内容中，让学生体会分类讨论、转化与化归的思想方法.

3. 学科核心素养层面

课程标准中所提出的六大学科核心素养在教学过程中应当是一个有机的整体，它们既相对独立、又相互交融. 但是我们应当根据呈现内容的不同，分别有所侧重.

在单元一构建任意角概念和引入弧度制时，侧重发展学生的数学抽象素养;在单元二推导诱导公式、进行三角恒等变换时，侧重发展学生的逻辑推理和数学运算素养;在单元三学习三角函数的图像与性质时侧重发展学生的直观想象素养，在运用三角函数解决一些实际问题时侧重发展学生的数学抽象与数学建模素养.

学生情况分析

1. 学生认知基础

初中时学生就有了在直角三角形中研究锐角三角函数的基本活动经验. 进入高中后又学习了集合对应关系观点下的函数概念，为角的推广、弧度制引入的必要性、三角函数的概念学习奠定了基础知识. 另外，在前面函数性质、指对幂函数的学习过程中，学生已经积累了一些研究函数的基本思想和基本技能，这为三角函数图像与性质的学习做好了必要的准备.

2. 学生可能遇到的困难预设

在弧度制的学习时，学生对弧度制单位的使用很不习惯，也很不理解为什么要引入弧度制;在学习诱导公式时，如何从圆的对称性联系到角之间的关系也是认知上的难点;公式学完后经常会被众多的公式搞得焦头烂额，特别是符号的记忆容易出错;在三角恒等变换中，经常不能合理选取适当的公式，对变形化简的方向总是感到迷茫;学习三角函数的图像与性质时，对图像的把握不够准确、全面，研究函数性质的方法也不够熟练.

3. 前测设计分析

为了提升教学的有效性和针对性，可以在前一天的练习中适当增加第二天课程的部分前测练习. 前测练习的设置可以是为了激活学生第二天需要用到的基础知识. 比如，在学习弧度制之前可设置练习以复习初中学过的扇形弧长、面积公式;在学习三角函数图像与性质之前可设置练习以复习函数的单调性、奇偶性的基本概念及研究方法. 前测练习的设置也可以是为第二天重难点的突破搭好“脚手架”. 比如，在学习诱导公式之前可设置练习以研究相關角的终边的对称性. 不过，前测练习的设置应当注意控制难度和数量.

单元教学目标设计

核心素养是无法直接教授或习得的，它需要由数学知识作为载体，在长期潜移默化的熏陶中逐渐形成. 要做到这点，就要求我们教师必须先理解所教知识的本质，了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法. 这样才能设置合理的教学目标，促进核心素养的落实.

1. 大单元目标分解到小单元目标（表1）

2. 小单元目标分解到子目标（表2）

3. 小单元目标确定重难点（表3）

教学活动设计

下面以“弧度制”这一节内容为例，说明教学活动设计过程中值得关注的几个方面.

1. 围绕目标、重难点设计教学策略

结合前面分析的单元子目标及重难点，本课教学设计中的两个难点就在于如何使学生体会到用弧长半径之比度量角度的合理性以及弧度制引入的必要性. 为了突破第一个难点，笔者打算从学生初中学过的弧长公式l=入手，通过变形得到=·n. 这样就可以发现与n之间的函数关系，并且它们之间是一一对应的，进而说明用弧长半径之比度量角度是合理的. 此外，从弧度制的发展历史来看，弧度制最初引入的原因在于将角度的六十进制与弦长的十进制统一起来，这样便于查阅三角函数表. 后来，随着微积分等近代数学的发展，弧度制大大简化了三角公式及计算，特别是高等数学中与三角有关的微分公式、积分公式、级数公式等形式大大得到了简化. 所以，弧度制才逐渐被数学界普遍接受和广泛使用[1]. 针对第二个难点，笔者打算借助数学史进行突破. 但是在本堂课中无法完整地展示弧度制发展历史的全貌，而且有些好处学生暂时无法理解，比如涉及微积分知识的三角有关公式. 所以，要对这段历史进行整理，提炼合适的部分展示给学生.

2. 注重活动变化落实核心素养

核心素养落地的关键环节在于课堂活动，因为学生对所有基础知识的理解、基本技能的掌握、基本思想的感悟，都应当来源于学生在课堂活动中积累的基本经验. 因此，活动过程中应当注意学生活动的主体性及活动形式的多样性. 不局限于讲授与练习，也可以引导学生自学、动手操作、自主探究、小组合作等. 另外，不同教学内容侧重发展的核心素养也不同，根据不同的学习内容和任务应当灵活选取不同的活动方式.

比如，在发现弧长半径之比度量角度的合理性过程中，数据的计算、表格的填写以及最后的实践活动，都可以让学生合作交流，并请小组代表展示结论，然后由其他小组补充、评价. 能对所给数据进行处理，提取信息，進行推断，发展学生的数据分析素养. 但是在归纳总结角的弧度公式时，应当引导学生独立思考，发展学生的逻辑推理和数学抽象素养. 在整堂课的实施过程中，教师主要扮演的是引导者的角色.

3. 创设合适情境激活学生思维

问题是数学的心脏，因此核心素养的培养应该落实在发现问题、思考问题、解决问题的过程之中，进而发展学生的思维. 那么，如何设置问题的情境，通过合理的设置引导学生学会用数学的思维思考问题，是落实核心素养的保障. 我们可以从以下几个方面考虑.

设置具有适应性的情境. 所谓的适应性指的是符合学生的年龄、生活经验、已有知识水平等实际情况. 比如，本节内容的引入问题来源于我们日常生活中客观存在的现象——单位制的多样性，符合学生的生活经验. 而且问题的提出运用了类比的方法，这是对逻辑推理素养的发展. 而在发现弧长半径之比度量角度的合理性过程中需要学生初中已有的知识——弧长公式，学生在具体问题中探求一般规律的解释也是对数学抽象素养的一种发展.

设置具有逻辑性的情境. 问题产生不是从天而降，而应当是自然生成的，问题的提出应体现研究数学问题的一般思路与方法. 比如，在发现弧长半径之比度量角度的合理性过程中，可以引导学生从直观的图形切入思考，然后上升到抽象的数量关系，体现由形到数，从具体到抽象的思维方式，发展直观想象、数学抽象素养.

设置具有探究性的情境. 解决探究性问题很能反映一个学生的逻辑思维能力，它需要学生具有批判性、发散性的思维. 它帮助学生在提出问题、分析问题、解决问题的经验积累过程中，学会用数学的思维思考世界. 比如，引出弧长半径之比度量角度之前，可以设计开放性的问题，学生可能会单独考虑用半径或者弧长来度量角度. 这需要学生经历提出猜想、验证猜想、否定猜想、重新提出猜想，很好地发展学生的逻辑推理素养. 最后的探究活动作为扇形面积公式的实际运用，需要学生从实际问题中抽象出扇形面积的问题，同时总结相应的内在规律，发展了学生数学建模、数学抽象素养.

设置具有人文性的情境. 借助数学史，通过对学生数学文化的熏陶，体现对学生发展的一种人文关怀. 同时也能激发学生的兴趣和学习动机. 本节课中通过插入弧度制的发展历史，使得学生观察到弧度制度的来龙去脉，对弧度制建立一个整体的认知. 奥苏伯尔的有意义学习理论强调知识间的联系，这样的认识有助于加深学生对弧度制概念及本质的理解.

教学评价设计

评价是教学的重要环节，通过对学生的评价，不仅可以反映出学生对知识、技能掌握的程度，考查其核心素养的达成情况，也可以帮助教师反思教学过程，进而改进教学设计.

1. 探索形成性评价的多种方式

史宁中教授说过，思维能力与所学知识点之间的关系不是充分必要的. 评价更应注重学生的思维过程、思维深度和思维广度. 本人认为，好的探究性问题能很好地考查学生的思维. 比如，在“弧度制”一节中，在发现弧长半径之比度量角度的合理性过程中、探究活动请学生发言时，都是展现学生思维的良好窗口. 甚至，课后是不是还可以设置这样的开放性问题：除了用这个量来度量角的大小，我们是否还可以寻找其他量来度量呢？

当然，除了传统的纸笔测试以外，我们是否还可以采取其他形式的评价方式，比如实践活动、研究报告、小论文，甚至是面试中经常采用的无领导小组讨论. 另外，除了关注学生的知识掌握情况、数学思维发展，还应当关注日常学习过程中学生的学习态度、行为习惯、学习兴趣等方面. 这样可以使对学生的评价更加多元化. 这些都值得我们去实践、去探索.

2. 关注总结性评价的设计及反馈

在设计总结性评价工具时，主要是通过总结性测试完成. 要注意知识技能的范围和难度，要有利于考查学生的思维过程、思维深度和广度（例如，设计好的开放题是行之有效的方法[2]）. 聚焦单元内的核心概念和通性通法的考查，聚焦它们所承载的核心素养. 另外，总结性测试应当适当分层，以便客观反映不同程度学生的优势和不足，为改进教学行为、改进学习方法提供参考.

另外，可以充分利用信息技术，收集、整理、分析反映学生学习成果的大数据. 比如，可以通过网上阅卷系统建立起每一位学生的错题库. 从而使得教师了解自己的教学成绩，反思改进自己的教学行为，寻求改进教学的对策，进而实施更精准的教学.

3. 结合评价实施教学改进

北京师范大学的曹一鸣教授提出如图1的教学改进实施路径[3]：能力前测和教学诊断提供依据，通过统一课题两轮改进提升效果，结合师生访谈、教师反思、能力后测改进效果（图1）.

在这个过程中，教师可以借助学科备课组的力量，采取同课异构、听课评课等教研方式，结合学生的情况反馈不断改进教学设计和开展新的教学活动. 当然在这个过程可能会遇到新的问题，这不是一个简单的重复过程，而是一个不断动态调整的过程. 通过这一系列活动过程，使得数学教师的教学活动更有利于学生的能力发展，进而使得自身的教学能力不断得到提升.

参考文献：

[1]  江灼豪，何小亚. 弧度制发展的历史溯源[J]. 数学通报，2016（7）.

[2]  史宁中. 高中核心素养的培养、评价与教学实施[J]. 中小学教材教学，2017（5）.

[3]  曹一鸣，刘坚. 促进学生数学核心素养与关键能力发展的教学研究[J]. 中小学课堂教学研究，2017（4）.