新疆石河子148 团中学 徐新贤

一、问题提出

该学生提供了一个公式（如（1）式所示）和一个截图（如图1所示），他直觉认为（1）式中的第二个式子有错误，因为该式的两项因子明显不对称，不知道为什么会是这样的，因为原文献中并没有原始公式和推导过程。

二、分析思路

图1

先明确一下，文献中的这个公式是涉及光在硅波导与介质狭缝交界面处任意一点的电场强度问题。图1 中S 表示介质狭缝，H 表示狭缝两侧的硅薄膜波导，C 表示硅外侧的包层（折射率为nC）。如果在高折射率的硅波导（折射率为nH）中间引入纳米宽度的低折射率介质狭缝（折射率为nS），光场将会被限制在狭缝中。三层介质的折射率关系为：

nH＞nS＞nC（2）

显然，要回答（1）式有没有问题，就需要得到Ex(x)的定量表达式。我们知道光的本质是电磁波，是变化的电场强度矢量和变化的磁场强度矢量相互激发所形成的，而解决电磁波的问题就必须从电磁波所遵循的基本规律——麦克斯韦方程组入手，推导出电磁波的场分布。

三、利用物理知识建立单一介质中的电场及磁场所满足的方程

因为需要得出电磁场中任意一点的电场强度的表达式，所以我们选择麦克斯韦方程组的微分形式并进行矢量分析：

这是两组独立互不关联的方程组，（12）式只含有Ey、Hx、Hz三个分量，其中Ey是电场的唯一分量，且垂直于传播方向，因而电场是横场，简称TE 模。（13）式含有另外三个分量Hy、Ex、Ez，其中Hy是磁场的唯一分量，且垂直于传播方向，因而磁场是横场，该方程组所描述的传播模式称为横磁模，简称TM 模。……